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N个自旋1/2的粒子排成一条直线，仅最近邻粒子间有相互作用．当两近邻自旋取向相同(都向上或都向下)时，两者相互作用能为ε；取向相反时，相互作用能为-ε．试求此系统在温度为T时的配分函数．
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对于两个自旋1/2粒子组成的体系，令
r=r1-r2，n=r/r， (r方向单位矢量)
定义张量算符(取h=1)
(1)
(a)证明(S12)2=4S2-2S12，S为总自旋．再进而证明S12的任意正整数次幂均可表示成S12和S2的线性组合；
(b)求S12的本征值；
(c)令n经历各种方向(机会均等)，求S12的平均．
对于自旋为1/2的粒子，取h=1，则
计算全同的低能粒子散射截面(只考虑s波)．设粒子自旋为1/2，相互作用为
其中V0＞0． 入射粒子和靶粒子均未极化．
对于自旋1/2粒子，求算符σr=σ·r/r对(l2，j2，jz)的共同本征函数
对于自旋为1/2的粒子，只考虑自旋自由度(并取h=1)．绕y轴旋转π/2角的转动算符为
试对于σz=±1的本征态
对于自旋为1/2的粒子，常称(σ)为极化矢量，记作P．它也就是自旋角动量的空间指向．设粒子为定域的，并受到沿z方向但强度随时间变化的磁场B(t)的作用，作用势为
H=-μ0σ·B(t)=-μ0σzB(t)
在Heisenberg图象中求极化矢量随时间变化的规律，即求P(t)=〈σ〉t．设P(t=0)指向(θ0，φ0)方向，θ0=2δ，φ0=2α．
计算两两之间的具有“反铁磁”相互作用
，i，j=1，2，3或铁磁相互作用J＜0的三个1/2自旋粒子的基态能量，讨论其简并度．
作为一维铁磁体的简化模型，考虑自旋为
试证明(a)总自旋
为守恒量；(b)在体系的基态下，相邻粒子之间必然构成自旋三重态(自旋指向互相“平行”)．讨论基态能级的简并度．
