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设X和YBanach空间，F∈BL(X，Y)。设R(F)和Z(F)分别是F的值域空间和零空间。证明R(F)在Y中是闭的当且仅当R(F)与X/Z(F)线性同胚。
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设X，Y，Z为赋范空间，F∈BL(X，Y)，G∈BL(Y，Z)。求证：(G·F)'=F'·G'
设X，Y为赋范空间，F∈BL(X，y)。求证；
‖F‖=sup{|y'(F(x))|:x∈X，‖x‖≤1，y'∈Y',‖y'‖≤1}
设X，Y为赋范空间，Y为自反的。定义
T：BL(X，Y)→BL(Y'，X')
为T(F)=F'，其中F'为F的共轭算子。求证：T为满射。
设X是Banach空间，Y是赋范空间，{Fn)是BL(X，Y)中的序列使得对X中每个x，{Fn(x)}在Y中收敛。证明若
设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间，F：Z→Y是线性映射，它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z，设
‖z‖F=(‖z‖2+‖F(z)‖2)1/2
证明Z在这个范数下是Banach空间且F∈BL(z，Y)[‖·‖F称为F的图范数。]
设X，Y，Z是Banach空间，{G。：a∈A)是一族从y到Z的有界线性映射。设若对所有A中的a有G。(y)一0，则必有y===0。证明若F：X—y是线性的且对A中每个α，Gα·F∈BL(X，Z)，则F∈BL(X，Y)
设X为Banach空间，A，B∈BL(X)。求证：若B为紧的，则除掉特征值外A的谱和A+B的谱相等。
设X为Banach空间，A，B∈BL(X)。求证：σ(AB)与σ(BA)最多相差{0}。
设X为Banach空间，A∈BL(X)，对某个正整数m有‖Am‖＜1。求证：I-A在BL(X)中可逆。由此推出若‖A‖＜|k|。则
设A∈BL(X)。A的剩余谱σr(A)由所有纯量k使得A-kI的值域不在X中稠密组成。求证：若X为Banach空间，A∈BL(X)，则
