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设H是Hilbert空间，
为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→
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设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得
＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1
设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得
＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1
设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证：若A与AA*可交换，则A为正规算子，且当A不为紧算子时，这个结论一般不成立。
设{un：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
求证：
(a)
(b)若{vi：i∈J}为H的另一标准正交基，则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设{Hn}是一列Hilbert空间，
满足
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
设H为复Hilbert空间，
．又设A是正算子，而AB是自共轭算子，r(B)为B的谱半径，证明：对
设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：
(a)
(b)
，其中I为恒等算子．证明：
为正规算子，E为相应的谱测度，证明：
