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[主观题]

设{Tt:t≥0)是Banach空间X上的C0类压缩算子半群.证明: ,x∈X.

设{Tt:t≥0)是Banach空间X上的C0类压缩算子半群.证明:

设{Tt:t≥0)是Banach空间X上的C0类压缩算子半群.证明:  ,x∈X.设{Tt:t≥0),x∈X.

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第1题
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群,A为其无穷小生成元,D(A)表示A的定义域,且x,y∈X有.证明x∈D(A)

设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群,A为其无穷小生成元,D(A)表示A的定义域,且x,y∈X有.证明x∈D(A),且Ax=y.

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第2题
设X是Banach空间,T是X上线性紧算子,g在中开圆盘Br={z∈:|z|<r}上解析,且g(0)=0,σ(T)Br.证明g(T)也是线性紧算

设X是Banach空间,T是X上线性紧算子,g在中开圆盘Br={z∈:|z|<r}上解析,且g(0)=0,σ(T)Br.证明g(T)也是线性紧算子

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第3题
设D是C中开单位网盘,D是它的闭包。设X是由所有D上连续且在D上解析的函数组成的集合。对x∈X。设 ‖x‖=sup{x(eit

设D是C中开单位网盘,D是它的闭包。设X是由所有D上连续且在D上解析的函数组成的集合。对x∈X。设

‖x‖=sup{x(eit)|:0≤t≤2π}

证明X是Banach空间。

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第4题
证明Banach空间X上的微分方程 的解可表为x(t)=Ttx0+Tt-sf(s)ds,其中x(t):[0,∞)→X具有一阶连续导数,A是X上

证明Banach空间X上的微分方程

的解可表为x(t)=Ttx0+Tt-sf(s)ds,其中x(t):[0,∞)→X具有一阶连续导数,A是X上的闭线性算子,f:[0,∞)→X是连续的.

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第5题
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))

设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.

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第6题
设X是Banach空间,,α∈,n∈.证明: r(αT)=|α|r(T),r(Tn)=[r(T)]n.

设X是Banach空间,,α∈,n∈.证明:

r(αT)=|α|r(T),r(Tn)=[r(T)]n

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第7题
设X为Banach空间,(a,b),β(t):(a,b)→连续.证明:

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第8题
证明广义的Liouville定理:设X是Banach空间,x=x(t):C→X为向量值解析函数,且‖x(t)‖在上有界.则x(t)在X中为常

证明广义的Liouville定理:设X是Banach空间,x=x(t):C→X为向量值解析函数,且‖x(t)‖在上有界.则x(t)在X中为常向量.

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第9题
设X为Banach空间,A,B∈BL(X)。求证:σ(AB)与σ(BA)最多相差{0}。

设X为Banach空间,A,B∈BL(X)。求证:σ(AB)与σ(BA)最多相差{0}。

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第10题
设{Tt:t≥0}是C0[0,∞)上的平移半群,即 (Ttx)(s)=x(s+t),t≥0,x∈C0[0,∞).证明其中记号为n阶差分符号,有 ,

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(Ttx)(s)=x(s+t),t≥0,x∈C0[0,∞).证明其中记号为n阶差分符号,有

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第11题
设X,Y,Z是Banach空间,{G。:a∈A)是一族从y到Z的有界线性映射。设若对所有A中的a有G。(y)一0,则必有y===0。证明若

设X,Y,Z是Banach空间,{G。:a∈A)是一族从y到Z的有界线性映射。设若对所有A中的a有G。(y)一0,则必有y===0。证明若F:X—y是线性的且对A中每个α,Gα·F∈BL(X,Z),则F∈BL(X,Y)

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