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设C(-∞，+∞)是由定义在(-∞，+∞)上的连续函数全体按照通常的函数相加和实数与函数的乘法所构成的线性空间.试判断C(-∞，+∞)中的函数组sinx，cosx，xsinx的线性相关性.
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设D为
其中ds为弦长度微分。求证上式定义了X上的一个内积。
设r≤n使式(5.23)成立，多项式Pr(λ)由式(5． 22)定义，则有
(5.22)
(5.23)
(1)当yr=0时，Pr(λ)是y0相对于A的零化多项式；
(2)当zr=0时，Pr(λ)是z0相对于AT的零化多项式．
设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L2[0，1]为
求证：存在非零实序列{λn}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{un}，使得对x∈L2[0，1]
其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2＜∞
(a)设{u1，u2，…，un}为有限维线性空间X的基。求证X上的内积由kij=＜ui，uj＞唯一确定。若n=2且X为实空间，找出一个2×2矩阵(kij)要满足的条件使得由kij=＜ui，uj＞可以确定X上的一个内积。
(b)求证在任意线性空间上均可以定义一个内积。
设φ(t)，ψ(t)，α(t)都是在a≤t≤b上的有界变差函数而且无相同的不连续点．又设c是a，b间的任意一个值．再定义
于是我们有下列不等式
(组合变换的互逆公式)设g(k)代表任一函数而f(n)的定义如下：
(1)
则得
(2)
此处f(0)=g(0)．反之由(2)亦可推出(1).
10 设C[a，b_为闭区间[a，b]上的全体连续函数所组成的实数域上的线性空间．在C[a，b]上，定义变换
试判定σ是否为C[a，b]上的线性变换．
| 表5-24 | ||||||
| ★ | α | β | γ | δ | ε | ζ |
| α | α | β | α | α | γ | δ |
| β | β | α | γ | β | γ | ε |
| γ | α | γ | α | β | γ | ε |
| δ | α | β | β | δ | ε | ζ |
| ε | γ | γ | γ | ε | ε | ζ |
| ζ | δ | ε | ε | ζ | ζ | ζ |
| 表5-25 | |||
| * | 1 | -1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| -1 | 0 | -1 | -1 |
| 0 | 1 | -1 | 0 |
设
设f(x)在R上有定义，h＞0为常数，称△hf(x)＝f(x＋h)－f(x)为f(x)的步长为h的一阶差分． (1)证明：△h[cf(x)]＝c△hf(x)(c为常数)， △h[f1(x)＋f2(x)]＝△hf1(x)＋△hf2(x)； (2)若定义△nhf(x)＝△n[△n－1hf(x)]，n＝2，3，…是f(x)的步长为h的n阶差分，用数学归纳法证明：
设函数α(x)，φ(x)≠0定义在0≤x＜∞内而适合下列条件：
(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x)，φ(x)都是有界变差函数．
(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点
(3)当t→∞时，Vφ(t)=V0t[φ]→∞，于是无穷积分
