题目内容
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[主观题]
设H为Hilbert空间,F1,F2,…为H的闭子空间且对于n≠m有Fn⊥Fm。设 求证:任取x∈F,对n=1,2,…,存在唯一的xn∈Fn,
设H为Hilbert空间,F1,F2,…为H的闭子空间且对于n≠m有Fn⊥Fm。设
求证:任取x∈F,对n=1,2,…,存在唯一的xn∈Fn,使得
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设H为Hilbert空间,F1,F2,…为H的闭子空间且对于n≠m有Fn⊥Fm。设
求证:任取x∈F,对n=1,2,…,存在唯一的xn∈Fn,使得
设A为Hilbert空间H上的酉算子,设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证:
(a)
(b)
设A∈BL(H),H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的,求证:
举例说明上述不等式可以是严格的。
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0
设H为复Hilbert空间,A为H上的正规算子。求证:若σ(A)={0},则A=0。证明这在下述情形下均不成立:
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
设H为Hilbert空间,W为所有H上的正规算子之集。求证:
(a)w为BL(H)的闭集。
(b)W不可能为BL(H)的真子空间。
设H为Hilbert空间,P∈BL(H)。求证:
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的
设H是复Hilbert空间,为自共轭算子.{Eλ}是T的谱系,且A与T可交换.证明:A与T的谱系可交换.
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间,W(A)为A的数值域。求证:
(a)
(b)A为自伴的
(c)(b)的逆命题不成立。
(d)设A为自伴的,则A为正算子当且仅当A的谱中仅有非负实数。