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(多项式逼近定理)设f(x)是一个在0≤x≤1内连续的函数，今定义如此的函数序列{Bp,[f]}：
其中Bp[f]称为伯恩斯坦多项式，其次数是p．则在间隔0≤x≤1上，于p→∞时Bp[f]向f(x)一致地收敛．[伯恩斯坦]
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求证定义在a≤x≤b上的任意一个连续函数f(x)可以由一串多项式来逼近它．亦即存在一个多项式序列{Gn(x)}使得Gn(x)→f(x)(n→∞)，并且收敛性是一致的．[外斯脱拉士]
设f(x)为-π＜x＜π内的连续函数，而f(-π)=f(π)．试证：对应于每一个ε＞0，常存在一个三角多项式：
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x，y)是在平面区域-∞＜x＜∞，0≤y＜ω上的有界可测函数，且是变数y的周期函数，其周期为ω又设K(x，λx)对于每一个充分大的λ而言，都是-∞＜x＜∞上的可测函数．则对于任意一个莱贝克可积函数f(x)，下面的公式常常成立：
[徐利治]
设K是一个惟一分解整环，0≠f(x)∈K[x]，且 f(x)=d1f1(x)=d2f2(x)， 其中d1，d2∈K，f1(x)与f2(x)是本原多项式．证明：d1与d2相伴，f1(x)与f2(x)也相伴．
(微分方程解的存在定理)设f(x，y)及fy(x，y)在一个平面区域R内连续．又设
(*)φ'n(x)=f(x，φn(x))+ωn(x),|ωn(x)|＜εn其中εn→0(n→∞)．那么结论是：
(i)y=φn(x)在[x0，x0+h]上一致收敛到一个函数y=φ(x)．
(ii)y=φ(x)是微分方程y'=f(x，y)的一个经过(x0，y0)处的唯一存在的右行解
C1曲面MC R3，它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场．引理3．1．1是此题的高维推广，其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11．2．1
(拉普拉斯的渐近积分定理)设φ(x)，h(x)及f(x)=eh(x)定义在有穷或无穷间隔a≤x≤b上且满足下列各条件：
(i)φ(x)(f(x))n在[a，b]上为绝对可积(n=0，1，2，…)．
(ii)函数h(x)在[a，b]的一个内点ξ处达到有效最大值(即对[a，b]间一切异于ξ的x点而言总是h(ξ)＞h(x+0)，h(ξ)＞h(x-0))．并设h(x)在ξ的邻域内有二级的连续微商而h'(ξ)=0，h"(ξ)＜0．
(iii)φ(x)在x=ξ处连续，而φ(ξ)≠0．于是当n→∞时即有下列的渐近公式：
设p(x)是域F上首系数为1的多项式，且在某扩域中有根α．证明：若p(x)在F上不可约，则p(x)是α在F上的最小多项式．
设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)在[a，b]上连续且在[a，b]上可微，而且φ'(x)≥0，a＜x＜b．应用分部积分法和第一中值定理证明第二中值定理．
设f(x)，g(x)是两个互质的多项式，其中g(x)的次数不低于f(x)的次数并且g(0)=0．又设g(n)≠0(n=1，2，…)．
于是函数
必满足下列的齐次线性常微分方程式
设f(x)=logcosx，(0≤x≤1).试决定一多项式G(x)使得
|f(x)-G(x)|＜0.0001,(0≤x≤1).
