试证明自由粒子(自旋为0)的Klein-Gordon方程 可以表示成类似于Schrodinger方程的形式: (2) 其中
试证明自由粒子(自旋为0)的Klein-Gordon方程
可以表示成类似于Schrodinger方程的形式:
(2)
其中
(3)
Ψ是重新定义的二分量波函数,τi(i=1,2,3)是Pauli矩阵
,,
试找出Ψ和ψ的关系,并通过Ψ来表示连续性方程中的ρ、j.
试证明自由粒子(自旋为0)的Klein-Gordon方程
可以表示成类似于Schrodinger方程的形式:
(2)
其中
(3)
Ψ是重新定义的二分量波函数,τi(i=1,2,3)是Pauli矩阵
,,
试找出Ψ和ψ的关系,并通过Ψ来表示连续性方程中的ρ、j.
作为一维铁磁体的简化模型,考虑自旋为的许多粒子排列在一直线上,每个粒子各处一定的位置,如图所示.假设每个粒子只与左右近邻发生自旋一自旋相互作用,体系的总能量算符为(取h=1)
,γ>0
试证明(a)总自旋
为守恒量;(b)在体系的基态下,相邻粒子之间必然构成自旋三重态(自旋指向互相“平行”).讨论基态能级的简并度.
热中子被质子散射.姑且设作用势为球方势阱,且与自旋无关,即
已知势阱中存在一个束缚态(l=0)能级,其值为
ε=-2.23MeV
(氘核结合能).热中子动能约为.势阱宽(核力力程)a≈2×10-13cm,V。约25~30MeV.试证明散射只在s道(l=0)进行,总截面可以近似表示成
对于自旋为1/2的粒子,常称(σ)为极化矢量,记作P.它也就是自旋角动量的空间指向.设粒子为定域的,并受到沿z方向但强度随时间变化的磁场B(t)的作用,作用势为
H=-μ0σ·B(t)=-μ0σzB(t)
在Heisenberg图象中求极化矢量随时间变化的规律,即求P(t)=〈σ〉t.设P(t=0)指向(θ0,φ0)方向,θ0=2δ,φ0=2α.
对于两个自旋1/2粒子组成的体系,令
r=r1-r2,n=r/r, (r方向单位矢量)
定义张量算符(取h=1)
(1)
(a)证明(S12)2=4S2-2S12,S为总自旋.再进而证明S12的任意正整数次幂均可表示成S12和S2的线性组合;
(b)求S12的本征值;
(c)令n经历各种方向(机会均等),求S12的平均.
一理想费米气体的粒子数为N,体积为V,能量为E,粒子的态矢量为,式中,l和k是轨道量子数,自旋量子数s可取和两个值.设粒子的能级,只依赖量子数l,简并度为.假设每一个量子态上最多只能有一个粒子,并且轨道量子数,和是相同的两个量子态和不能同时被占据.如果气体处在热力学平衡态,试导出占据在能级上的粒子数al的表达式.
氢原子处于基态(1s).设受到微扰作用,微扰算符为
H'=φ(r)σ·p+σ·pφ(r) (1)
φ(r)为实函数,在处有显著的值,r>b处迅速衰减而趋于0,(Bohr半径),仃为Pauli自旋算符.试证明,微扰后的基态并非纯粹的1s态,而是1s态中混杂着少量2p态.试给出一级微扰近似下基态波函数的公式.
粒子在中心力场中运动,考虑准经典近似下的s态(l=0).定义经典径向动量
p(r)=[2μ(E-V(r))]1/2, r<rc(1)
rc为经典转折点,满足
V(rc)=E, 即 p(rc)=0 (2)
由于粒子主要出现在r<rc范围内,如略去波函数中的振荡因子,则在r-r+dr内发现粒子的概率可以近似地取为
(3)
试证明
(4)
π-分子(赝标量粒子,自旋为0,宇称为奇)在氘核(质子和中子的3S1结合态)Coulomb场的作用下处于基态,后来该π-介子被氘核d俘获而产生下列反应:
π-+d→n+n
(a)求反应后中子对的轨道角动量;(b)求反应后中子对的自旋角动量.(c)求两中子自旋均指向与氘核自旋相反方向的概率.(d)如果原来氘核自旋是100%沿方向(z轴)极化的,求出射中子中有一个自旋和氘核自旋方向相反的角分布概率.
让我们讨论二维Fermi气体.
(a)设电子限制在边长为L的方框中.单粒子能级由下式给出,
在大量子数()下,在(n,n+dn)中的量子态数目(计及自旋态)为dN=πndn.试计算态密度dN/dE;
(b)求二维Fermi气体的Fermi能量Ef和能量平均值Eav.