题目内容
（请给出正确答案）
设矩阵A=(aij)的特征值λi(i=1，2，…，n)满足
λ1＞λ2≥λ3≥…≥λn≥0，
试证
其中tr(A)是A的对角元的和．
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设A=(aij)n×n实对称，且aii＞0(i=1，2，…，n)，则Jacobi格式收敛的充要条件是A和2D-A都是正定矩阵．
在中心为原点的二次曲面
∑i,j=13aijxixj=1
(其中(aij)3×3是正定矩阵)上求到原点距离最小(大)的点。
设A=(aij)n×n(n＞1)满足|aii||ajj|＞RiRj(i≠j)，则detA≠0．
设X为Banach空间，A∈BL(X)，A≠0。求证：A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1，x2，...,xn}，X'中线性无关的元{x'1，x'2，…，x'n)使得
由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体，其中对i，j=1，2，…，n，kij=x'i(xj)
设A=(aij)n×n，ei=(0，…，0，1，0，…，0)T为第i个分量是1、其它分量全为零的n维列向量(i=1，2，…，n).试求Aej，
.
设实方阵A=(aij)n×n的秩为，n-1+，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n).求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交.
对于定义的矩阵B(i=1，2，…，n)，证明：
(1)
(2)Bi的特征值只能是0或者1；
(3)利用(2)的结果说明‖Bi‖2=1．
设Am×m的特征值为λ1，λ2，…，λm，Bn×n的特征值为μ1，μ2，…，μn，则f(A，B)的全体特征值为f(λi，μj)(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)．
设X=lp，其中1≤p＜∞，ei为X的第i个单位向量。又设T∈BL(X)使得Tei=ei+1，i≥1。求T的特征值及T的谱。
设λ是An×n(n＞1)的任一特征值，则λ位于某个
Ωii={z|z∈C，|z-aii|z-ajj|≤RiRj} (i≠j；i，j=1，2，…，n)之中，称Ωij，(i≠j)为A的Cassini卵形．
，证明A是正规矩阵．
