试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上正值可测函数,且对任意的a>0,f∈L([0,a]),g∈L([0,a]).若有
,,
则存在充分大的值r,使得对满足0≤s≤r的s,均有
.
试证明:
设f(x)是[0,1]上正值递增函数,若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0<y<x≤1),则存在(0,1)上递减可积函数F(x),使得g(x)≤F(x)(0<x<1).
试证明:
设f∈C([0,∞))∩L([0,∞)),且是正值递减函数,则
当且仅当对t>0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞).
试证明:
设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则
.
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有
.
试证明:
设{fk(x)}是E上的可测函数列,F∈L(E)且F(x)>0(x∈E).若fk(x)≥-F(x)(x∈E),则
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试证明:
(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.
(ii),a.e.x∈R1.
试证明:
设f(x)在[a,b]上非负可积,则
(i)(0<λ<1).
(ii)(λ>1;λ<0).