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设a1，a2，…，an≥0，P1，P2，…，Pn＞0，且P1+P2+…+Pn=1，试证
a1p1a2p2…anpn≤P1a1+P2a2+…+Pnan
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试证不等式
此处p1，p2，…，pn；a1，a2，…，an都是正数，而a1，a2，…，an不全相等．
在P(V4)中，如果射影变换P(f)：P(V)→P(V)把射影坐标系的参考标架{A0＝(1，0，0，0)，A1＝(0，1，0，0)，A2＝(0，0，1，0)，A3＝(0，0，0，1)，E＝(1，1，1，1)}变成新的参考标架{P0＝(0，1，1，1)，P1＝(1，0，1，1)，P2＝(1，1，0，1)，P3＝(1，1，1，1)，E′＝(0，0，0，1)}写出射影变换的表达式．
以下我们给出一个模型，将家庭的全部消费分为南瓜消费(P1，Q1)和其他消费(P1，Q2)两大类型。
贝努利-拉普拉斯型效用函数：
U=b1log(a1+Q1)+b2log(a2+Q2) (8－5)
收支等式：
Y=P1Q1+P2Q2(8－6)
式中，U——效用指标；
Q1——每户南瓜年均消费量；
Q2——其他商品年均消费量；
P1——南瓜价格；
P2——其他商品价格(消费物价指数)；
Y——每户年均消费支出；
a1、a2、b1、b2——结构参数。
(1)求各商品的边际效用，并推导边际效用等式(效用最大化的一阶条件)。
(2)根据边际效用等式和收支等式，推导相当于诱导方程式的南瓜需求函数。
(3)对(2)中推导出的南瓜需求函数，利用表8-2日本的数据(1980-1993年)，进行OLS估计。
(4)设正规化(normalize)b1+b2=1，根据(3)中估计出来的诱导型参数，求结构参数a1、a2、b1、b2。
(5)根据(3)中估计出来的需求函数，求南瓜消费量的理论值Q1，并将其与实际值Q1一道画出图形。
表8-2 日本每户南瓜的年均消费量及其价格
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设f∈LP(R)，P＞0，则对任何P1，P2＞0，P1＜P＜P2，恒有分解f=f1十f2，其中f1∈Lp1(R)，f2∈Lp2(R)．并给出这种分解的一个应用。
设H为有限维Hilbert空间，A∈BL(H)。设P1，P2，…，Pm为H的非零正交投影使得
PiPj=0， i≠j， (28)
I=P1+P2+…+Pm(29)
k1，k2，…，km为m个两两不等的纯量，使得
A=k1P1+k2P2+…+kmPm(30)
求证：k1，k2，…，kmA不同特征值的全体，且P1，P2，…，Pm为到相应特征空间的正交投影
设P1、P2分别是χ轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的方向上的无穷远点，且(P1P2，P3P4)＝k，求P4的坐标．
设H为Hilbert空间，P1，P2为H上的正交投影。求证：
(a)P1P2为正交投影当且仅当P1P2=P2P1
(b)P1+P2为正交投影当且仅当P1P2=0=P2P1
(c)P1+P2及P1-P2为正交投影当且仅当P2=0
设a0=0，a1=1，a2=4，a3=12，且它们满足递推关系：
an+c1an-1+c2an-2=0求an。
