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题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设{ek}（k=1，2，3，…)是中的规范正交系，L是{ek}张成的闭子空间，证明L上的投影算子可以表示成

设{e_k}(k=1，2，3，…)是设{ek}（k=1，2，3，…)是中的规范正交系，L是{ek}张成的闭子空间，证明L上的投影算子可以中的规范正交系，L是{e_k}张成的闭子空间，证明L上的投影算子可以表示成

设{ek}（k=1，2，3，…)是中的规范正交系，L是{ek}张成的闭子空间，证明L上的投影算子可以

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第1题

设μ是X上的正测度，f：X→[0，∞]，f∈L1（μ)，Ek={x∈X：f（x)≥k}，其中k∈．证明

设μ是X上的正测度，f：X→[0，∞]，f∈L¹(μ)，E_k={x∈X：f(x)≥k}，其中k∈．证明

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第2题

试证明：设（k∈N)是可测集，m（Ek)→0（k→∞)．若f∈L（Rn)，则.

试证明：

设(k∈N)是可测集，m(E_k)→0(k→∞)．若f∈L(R_n)，则.

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第3题

试证明：设，，f∈L（Ek)（k∈N)，则．

试证明：

设，，f∈L(E_k)(k∈N)，则

．

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第4题

试证明：设{Ek}是递增可测集合列，且，又在E上定义的f（x)满足f∈L（Ek)（k∈N)．若，则f∈L（E)，且有．

试证明：

设{E_k}是递增可测集合列，且，又在E上定义的f(x)满足f∈L(E_k)(k∈N)．若，则f∈L(E)，且有

．

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第5题

设E为Rn中任一子集，α为给定正数。对于任意的ε＞0，令其中d（Ek)表示Ek的直径，且下确界对一切满足而 d（Ek)＜

设E为Rⁿ中任一子集，α为给定正数。对于任意的ε＞0，令

其中d(E_k)表示E_k的直径，且下确界对一切满足而

d(E_k)＜ε， k∈N

的集列{E_k}而取，再令

试证：H_α为基本集Rⁿ上的外测度，并满足条件：若H_α(E)＜∞，则当β＞α时，H_β(E)=0。H_α称为豪斯道夫(F.Hausdorff)测度。

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第6题

试证明：设fk∈C（Rn)（k=1，2，…)，且有， x∈Rn，则f（x)的连续点集是Gδ型集：，Ek（ε)={x∈Rn：|fk（x)-f（x)|≤ε}．

试证明：

设f_k∈C(Rⁿ)(k=1，2，…)，且有

， x∈Rⁿ，

则f(x)的连续点集是G_δ型集：

，E_k(ε)={x∈Rⁿ：|f_k(x)-f(x)|≤ε}．

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第7题

设sk=a1+a2+…+ak（k=1，2，3，…)，则

设s_k=a₁+a₂+…+a_k(k=1，2，3，…)，则

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第8题

设f（x)∈C2[a，b]，x*∈（a，b)为f（x)=0的单根，取x0∈（a，b)．在牛顿法中，若用近似代替导数f'（xk)，得到单点割线

设f(x)∈C²[a，b]，x^*∈(a，b)为f(x)=0的单根，取x₀∈(a，b)．在牛顿法中，若用近似代替导数f'(x_k)，得到单点割线法

，k=1，2，3，…

证明单点割线法是局部收敛的，且收敛阶一般为1．

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第9题

某人射击三次，设Bk={第k次射击命中目标}（k=1，2，3)，试说明下列记号的意义：

某人射击三次，设B_k={第k次射击命中目标}(k=1，2，3)，试说明下列记号的意义：

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第10题

设函数利用幂级数的性质证明f（x)在（-∞，+∞)内有各阶导数并且（k=1,2，3，…)．

设函数

利用幂级数的性质证明f(x)在(-∞，+∞)内有各阶导数并且

(k=1,2，3，…)．

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第11题

设对于k=1,2,3，…时，bk≥0，以及m＜s1+s2+…+sk＜M，其中sk=a1+a2+…+ak．于是下列不等式必成立：

设对于k=1,2,3，…时，b_k≥0，以及m＜s₁+s₂+…+s_k＜M，其中s_k=a₁+a₂+…+a_k．于是下列不等式必成立：

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