试证明: 设是可测集,若存在δ0:1>δ0>0,对任一区间,均有m(E∩(a,b))≥δ0(b-a),则m(E)=1.
试证明:
设是可测集,若存在δ0:1>δ0>0,对任一区间,均有m(E∩(a,b))≥δ0(b-a),则m(E)=1.
试证明:
设是可测集,若存在δ0:1>δ0>0,对任一区间,均有m(E∩(a,b))≥δ0(b-a),则m(E)=1.
试证明:
设是可测集,f:E→R1.若存在M>0,使得对任意的x∈E,都有δ>0,以及
|f(y)-f(x)|<M(y-x),y∈E∩(x,x+δ),
则m*(f(E))≤M·m(E).
试证明:
设)是可测集,且m(E)>0,令
A={x∈[0,1):存在n∈N以及t∈E,使得x={nt}},({nt}是nt的小数部分)则m(A)=1.
试证明:
设f(x)在(0,∞)上可测,若对(0,∞)中任意的满足m(E)=1与的可测集,均有f(x)dx=0,则f(x)=0,a.e.x∈(0,∞).
试证明:
设{fn(x)}是[0,1]上的实值可测函数列.若对任给ε>0,存在N,使得
m({x∈[0,1]:|fn(x)|<ε,n>N})=1.
则存在且m(E)=1,使得在E上一致收敛于零.
试证明:
设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集:m(E)<ε,使得对,存在K,有
|fk(x)-f(x)|<ε(k>K).
试证明:
设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得
m*(E)=m*(H),|f(x)-g(x)|<ε,x∈H.
试证明:
设,0≤a<b≤+∞,令
SE=SE(a,b)={(rcosθ,rsinθ):a<r<b,θ∈E}.
大家知道,若E=(α,β),则SE就是通常所说的扇形,其面积为
(b2-a2)(β-α)/2.
(Ⅰ)对于一般点集E,我们有m*(SE)≤(b2-a2)m*(E)/2.
(注意,这里m*(SE)是二维外测度,m*(E)是一维外测度.)
(Ⅱ)若是可测集,则SE是可测集.
设{fn(x)}是I=[0,b]上的可测函数列,若存在数列{an}:,使得在[0,b]上几乎处处绝对收敛,试证明存在{fnk(x)},使得,a.e.x∈I.
试证明:
对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为
(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.
设E是Rn-1中可测集,h>0,点集
A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}
是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则.