N个原子在空间规则地排列起来形成点阵结构（理想晶体)．由于热涨落，原子可以离开原来的点阵位置进入点阵的间

N个原子在空间规则地排列起来形成点阵结构(理想晶体)．由于热涨落，原子可以离开原来的点阵位置进入点阵的间隙位置，这种空位—间隙原子称为弗仑克尔(Frenkel)缺陷(见图)．

令w代表将原子从原来的位置移到间隙位置所需要的能量，当时，缺陷数n满足，因而缺陷之间的相互影响可以忽略．原子可以进入的间隙位置数N'和N有相同的数量级．试证明在温度T满足的平衡态下，缺陷的平均数n满足下列关系：

或

提示：先利用玻尔兹曼关系S(n)=klnW(n)求出有n个缺陷时的熵，其中W(n)代表从N个点阵位置移下n个原子并把它们分配到N'个间隙位置中的n个位置上的不同方式数．

有n个缺陷时的自由能为F(n)=E(n)-TS(n)=nw-TS(n)，再由自由能极小的条件，即

导出使F取极小的缺陷数n，它代表一定温度T的平衡态的平均缺陷数．

本题是综合应用热力学与统计物理学的一个例子．