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[主观题]

设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正则度,,fn,且存在p>1与M∈(0,∞)使.证明

设(X,设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正则度,,fn,且存在p>1与M∈(0,∞)使.证明设(X,,μ),μ)是测度空间,μ是有限正则度,设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正则度,,fn,且存在p>1与M∈(0,∞)使.证明设(X,,μ),fn设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正则度,,fn,且存在p>1与M∈(0,∞)使.证明设(X,,μ),且存在p>1与M∈(0,∞)使设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正则度,,fn,且存在p>1与M∈(0,∞)使.证明设(X,,μ).证明

设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正则度,,fn,且存在p>1与M∈(0,∞)使.证明设(X,,μ)

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第1题
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第2题
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设(X,,μ)与(Y,,λ)是σ-有限的测度空间.设上的测度使(A×B)=μ(A)λ(B)对每个A∈与B∈成立,证明=μ×λ.

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第3题
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设X为上赋范空间,Ω为完备的有限测度空间,证明x=x(t):Ω→X可测的充要条件是它为一列有限值函数(可测的简单函数)几乎处处收敛的极限.

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第4题
设X是赋范空间,A,A1,A2是X的非空有界子集,b∈,α是非紧性测度,证明:

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第5题
(X,)是可测空间,μ是(X,)上的有限实测度,A∈.若,EA,有μ(E)≥0,则称A为正集.若,EA,有μ(E)≤0,则称A为负集.证明下

(X,)是可测空间,μ是(X,)上的有限实测度,A∈.若,EA,有μ(E)≥0,则称A为正集.若,EA,有μ(E)≤0,则称A为负集.证明下述的Hahn分解定理:

存在正集A+和负集A-使,A+∪A-=X,且对,有

μ+(E)=μ(A+∩E),μ-(E)=-μ(A-∩E).

这里X的分解(A+,A-)称为μ的Hahn分解.

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第6题
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设(X,ρ)是完备度量空间,α是非紧性测度,{An}是X的非空递缩有界闭集,即有AnAn+1.若α(An)→0(n→∞),证明A=An是X中非空的紧集.

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第7题
设(X,)是可测空间,λ,μ是上的测度(可以是正测度,带号测度或复测度).若对每个E∈,μ(E)=0蕴涵λ(E)=0,则记为λμ.

设(X,)是可测空间,λ,μ是上的测度(可以是正测度,带号测度或复测度).若对每个E∈,μ(E)=0蕴涵λ(E)=0,则记为λμ.若存在A,B∈,使|λ|(Ac)=0且|μ|(Bc)=0,则记为λ⊥μ(或μ⊥λ).证明:

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第8题
设(X,,μ)为测度空间,.证明:

设(X,,μ)为测度空间,.证明:

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第9题
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设X是度量空间,为X的覆盖.若对每个x∈X,x属于至多有限个Vi,则称是X的点态有限覆盖.证明X是紧的当且仅当X的每个点态有限开覆盖有有限子覆盖.

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第10题
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对所有s∈,t∈,定义us(t)=eist,设X是这些函数us的全体有限线性组合所组成的复线性空间.若f∈X,g∈X,证明<f,g>=存在.说明这个内积使X成为一个内积空间,其完备化空间H是一个不司分的Hilbert空间,并证明{us:s∈}是H的一个极大规范正交集.

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第11题
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设X是赋范空间,xα∈X,,其中α属于某个指标集A。证明在X'中存在f使得f(xα)=kα当且仅当存在M>0使得

其中这些和是有限的,且是对所有可能的来取的。

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