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[主观题]
利用升、降算符a+、a，求谐振子的能量本征函数（x表象)，并扼要讨论其数学性质．
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电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为
能量本征态记为ψn，能级
，总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn，本征值为En．
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψn的成分．
设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系，以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数)，以
即令
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质，并求出J2、Jz的本征值和共同本征态．
对于三维各向同性谐振子，径向方程，势函数
已取
。上式可改写成
D(l)χl(r)=λlχl(r) (9.10)
其中
试证明
A-(l+1)A+(l)=D(l)+(2l+3)，
A+(l-1)A-(l)=D(l)+(2l-1)，
B-(l+1)B+(l)=D(l)-(2l+3)，
B+(l-1)B-(l)=D(l)-(2l-1)，
以及
D(l)[A+(l-1)χl-1]=(Al-1+2)[A+(l-1)χl-1]，
D(l)[A-(l+1)χl+1]=(Al+1-2)[A-(l+1)χl+1]，
D(l)[B+(l-1)χl-1]=(Al-1-2)[B+(l-1)χl-1]，
D(l)[B-(l+1)χl+1]=(λl+1+2)[B-(l+1)χl+1]．
由此阐明算符A+(A-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，能量减(增)1，而B+(B-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，但能量增(减)1．
一个核子(质量μ)在下列势阱中运动，分别写出能级，标记定态的好量子数，能级简并度．
(a)球形谐振子势，即
(b)球形谐振子势+(-Dl2)，即
H=H0-Dl2，D＞0为常数
(c)Mayer-Jensen球形壳模型势，即
H=H0-Dl2-Cs·l， C＞0，D＞0为常数．
考虑一个玻色子体系，其单粒子态记为α、β、…，各态中粒子数记为nα，nβ，…(nα，nβ=0，1，2，…)，粒子数表象中归一化的本征态记为|nα…〉．以
(a)证明
(b)令
(c)证明
(4)
粒子作一维运动，当总能量算符为
时，能级为E
求能级En．
氢原子下述径向方程式，取
，势函数V=-1/r)
可改写成
其中λl=-2E，
试证明
A-(l+1)A+(l)=D(l)-1/(l+1)2，A+(l-1)A-(l)=D(l)-1/l2，(l＞0)，
以及
D(l)[A+(l-1)χl-1]=λl-1[A+(l-1)χl-1]，
D(l)[A-(l+1)χl+1]=λl+1[A-(l+1)χl+1]．
由此阐明A+和A-算符的作用是使角动量l增、l减1，但保持能量E不变．
设质量为眠能量为E＞0、自旋为
的极化粒子束(自旋密度算符为ρ)从左入射，碰到自旋相关的势阶V=σxV(x)，其中σx为Pauli算符的x方向分量，而V(x)如下给出
其中|V0|＜E．求势阶对粒子束的反射系数与透射系数．
，求经典谐振子的运动区域。
