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设X与Y独立，证明：对任意实数x1，x2，y1，y2(x12；y12)，事件{x12}与事件{y12}独立．
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设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E1是紧的，E2是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α1，α2，使得对所有E1中的x1和E2中的x2有
Ref(x1)＜α1＜α2＜Ref(x2)
设u为一实数，X*=(x1，x2，…，xm)∈S1*，Y*=(y1，y2，…，yn)∈S2*，则u为对策值且X*为局中人P1的最优策略，Y*为局中人P2的最优策略的充分必要条件是：对于1≤i≤m，1≤j≤n，有
E(i，Y*)≤u≤E(X*，j)
曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，有以下三种定义形式：
①对于(a，b)内任意两点x1，x2及任意的0≤α≤1，总有
f [αx1+(1-α)x2]≤αf(x1)+(1-α)f(x2)；
②若f(x)在(a，b)内连续，且对(a，b)内任意两点x1，x2及任意的0≤α≤1，总有
f[αx1+(1-α)x2]≤αf(x1)+(1-α)f(x2)
③若f(x)在(a，b)内可导，且对(a，b)内任意两点x1，x2，总有
f(x1)≥f(x2)+f'(x2)(x1-x2)证明：若f(x)在(a，b)内可导，则上述三种形式的定义是等价的
(1)设B是一个集，A是B上的实函数全体，当a，b∈A，而且对每个t∈T有a(t)≤b(t)，那么A按此顺序也成为半序集。
(2)设A是所有实数对(x，y)全体，规定两对
(x1，y1)，(x2，y2)
A.f1(x)+f2(x)必为密度函数
B.F1(x)×F2(x)必为分布函数
C.F1(x)+F2(x)必为分布函数
D.f1(x)×f2(x)必为密度函数
设A∈Cn×n，x，y∈Cn，(x，y)=xHy，则(Ax，y)=(x，AHy)．
对任意f(x)g(x)∈P[x]，g(x)≠0，存在唯一的多项式q(x)，r(x)，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或
对任意f(x1，x2，…，xn)，g(x1，x2，…，xn)∈P[x1，x2，…，xn]，n≥2，g(x1，x2，…，xn)≠0必存在q(x1，x2，…，xn)，r(x1，x2，…，xn)，使f(x1，x2，…，xn)=q(x1，x2，…，xn)g(x1，x2，…，xn)+r(x1，x2，…，xn)，其中r(x1，x2，…，xn)=0或
＜da＞ [例] 设
f(x1,x2,x3)=q(x1,x2,x3)g(x1,x2,x3)+r(x1,x2,x3)．
设X1，X2，Y都是数域
sup{‖T(x1，x2)‖：‖x1‖≤1，‖x2‖≤1)＜∞，则称T有界．设X1是完备的，截口T(x1，·)与T(·，x2)都是有界的，证明T是有界的．
设X是任一集合，若对任意的x，y∈X，都存在一个实数与它们相对应，记作ρ(x，y)，并且满足下列条件(称为距离公理)：
(1)非负性ρ(x，y)≥0，且ρ(x，y)=0
(2)对称性ρ(x，y)=ρ(y，x)；
(3)三角不等式ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(z，y)则称ρ(x，y)为x与y之间的距离，并称定义了距离的集合X为距离空间或度量空间，证明：n维Euclid空间Rn，连续函数空间C([a，b])与P方可和数列空间都是距离空间
设P(x，y)和Q(x，y)具有一阶连续偏导数，且对任意实数x0，y0和R皆有
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
L是半圆
P(x，y)≡0， Qx≡0．
设0≤f(x)≤1，且对任意x、y∈[0，1]有|f(x)-f(y)|≤|x-y|，任取x1∈[0，1]定义
证明：{xn)收敛于[0，1]内的某个x0，且有f(x0)=3x0
