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试证明：
设fn∈L(R1)(n=1，2，…)，F∈L(R1)，且有
若存在
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试证明：
设fn(x)(n=1，2，…)是R1上的递增函数，若存在M＞0，使得|fn(x)|≤M(n∈N，x∈R1)，则存在R1上的函数f(x)以及{nk}，使得
试证明：
设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1)，则存在闭集列：
试证明：
设f(x)，fn(x)(n∈N)在R1上可测，g∈C(R1)，若
试证明：
设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn＞0，n∈N)
则存在
试证明：
设fn∈C(1)((a，b))(n=1，2，…)，且有
若存在f'(x)，F(x)在(a，b)上连续，则f'(x)=F(x)，x∈(a，b)．
试证明：
设fn∈L([a，b])(n∈N)，且有
|fn(x)|≤Mn(n∈N，x∈[a，b])，
则
试证明：
(Féjer)设φ(x)同上，{λn}是实数列，f∈/(R1)，则
．
注：(f∈L(R1))．
用归纳法证明推广的勾股定理：设fi∈R2π(k＝1，2，…，n)，且＜fi，fj＞＝0，(i≠j；i，j＝1，2，…，n)，则 ‖f1＋f2＋…＋fn‖2＝‖f1‖2＋‖f2‖2＋…＋‖fn‖2
设fn∈C(1)([0，1])，‖f'n‖∞≤1(n∈N)．若对一切g∈C([0，1])，有
试证明：
设数列{an}，{bn}满足|an|+|bn|≤10(n∈N)，则对fn(x)=ansin(nx)+bncos(nx)(n∈N)，不能成立
