设X是任意的一个(非空)集,R表示X的所有子集全体所成的环。在X中任意取定一个元a,然后在R上定义集函数μ如下:
设X是任意的一个(非空)集,R表示X的所有子集全体所成的环。在X中任意取定一个元a,然后在R上定义集函数μ如下:对任何E∈R,
设X是任意的一个(非空)集,R表示X的所有子集全体所成的环。在X中任意取定一个元a,然后在R上定义集函数μ如下:对任何E∈R,
设E是线性空间X的非空子集,x∈E.若对X中的任意非零元y,存在r>0使{x+ty:0≤t<r)E,则称x为E的代数内点.设E是吸收凸集,pE为E的Minkowski泛函.证明pE(x)<1当且仅当x为E的代数内点.
‖x‖=inf{r>0:r-1x∈E)
证明‖·‖是X上的范数,且
再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。
设A=(R,*),其中R是实数集,运算*定义为:x*y=[x,y],其中符号[x,y]表示不小于x和y的最小整数,又设
H1={x|0≤x≤100,x∈R},
H2={x|0≤x<100,x∈R}
问H1与H2能否构成A的子代数?
设(X,ρ)是完备度量空间,α是非紧性测度,{An}是X的非空递缩有界闭集,即有AnAn+1,.若α(An)→0(n→∞),证明A=An是X中非空的紧集.
设X是任一集合,若对任意的x,y∈X,都存在一个实数与它们相对应,记作ρ(x,y),并且满足下列条件(称为距离公理):
(1)非负性ρ(x,y)≥0,且ρ(x,y)=0;
(2)对称性ρ(x,y)=ρ(y,x);
(3)三角不等式ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y)则称ρ(x,y)为x与y之间的距离,并称定义了距离的集合X为距离空间或度量空间,证明:n维Euclid空间Rn,连续函数空间C([a,b])与P方可和数列空间都是距离空间
设用ψ表示R上的映射x→x-1(当x≠0),0→0。问任一勒贝格可测集E在映射ψ之下的像是否可测,测度如何?
试证明:
设g(x)是E上的可测函数,若对任意的f∈L(E),都有f·g∈L(E),则除一个零测集Z外,g(x)是E\Z上的有界函数.
设f是拓扑空间(X,τ)上的任意复函数,定义
φ(x,V)=sup{|f(s)-f(t)|:s,t∈V}, V∈τ,x∈V;
φ(x)=inf{φ(x,V):V∈τ),x∈V.
证明φ是上半连续的,并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0.从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集.