求证上题中的条件等价于:存在μ>0,使对任意的一串自然数n1<n2<…<nk(这里k也是任意的),有 ‖∑i=1kxn‖≤μ
求证上题中的条件等价于:存在μ>0,使对任意的一串自然数n1<n2<…<nk(这里k也是任意的),有
‖∑i=1kxn‖≤μ
求证上题中的条件等价于:存在μ>0,使对任意的一串自然数n1<n2<…<nk(这里k也是任意的),有
‖∑i=1kxn‖≤μ
设‖·‖是C[a,b]上的完备范数使得若‖xn-x‖→0,则对每个t∈[a,b],xn(t)→x(t)。证明‖·‖等价于上确界范数‖·‖∞
设函数α(x),φ(x)≠0适合命题条件(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x),φ(x)都是有界变差函数.(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点.于是下列(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)三组的每一组都是积分收敛的充分条件:
(Ⅰ)α(∞)存在,V0∞[φ-1]<∞.
(Ⅱ)α(x)=o(1),|φ(x)|→∞,V0∞[φ-1]→0(x→∞).
(Ⅲ)|φ(x)|→∞,于x充分大之后φ(x)为可微,有p>1使
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为
,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。
求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]
其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞
设f(x)在(a,b)上二次可导,ξ∈(a,b)是一定点,f"(ξ)≠0,求证在(a,b)内可找到两个值x1,x2,使
函数f(x)在区间(a,b)上称为下凸(上凸)的,如果对此区间中的任意两点x1及x2以及任意数λ1及λ2(λ1>0; λ2>0;λ1+λ2=1)有不等式
f(λ1x1+λ2x2)<λ1(x1)+λ2f(x2)或有相反的不等式
f(λ1x1+λ2x2)>λ1f(x1)+λ2f(x2)
求证:1)若a<x<b时,有f"(x)>0,则函数于区间(a,b)上为下凸;2)若a<x<b时,有f"(x)<0,则函数于区间(a,b)上为上凸
设T是Hilbert空间X上有界线性算子.若存在X的一个稠密的线性子空间X0,使对任意x∈X0,成立||Tx||=|x|,H的值域在X中稠密.求证:T是酉算子.
设X=L2[0,1],是为闭单位正方形
S={s(t):0≤S,t≤1}
上的纯量连续函数。对x∈X,令
,0≤s≤1
求证:A:X→X为紧线性算子。
设X为Banach空间,A∈BL(X),A≠0。求证:A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1,x2,...,xn},X'中线性无关的元{x'1,x'2,…,x'n)使得
,x∈X
由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体,其中对i,j=1,2,…,n,kij=x'i(xj)