设μ(X)<∞,f∈L1(μ),D是复平面上闭集,且对每个E∈,μ(E)>0,平均值,证明f(x)∈Da.e.于X
设μ(X)<∞,f∈L1(μ),D是复平面上闭集,且对每个E∈,μ(E)>0,平均值,证明f(x)∈Da.e.于X
设μ(X)<∞,f∈L1(μ),D是复平面上闭集,且对每个E∈,μ(E)>0,平均值,证明f(x)∈Da.e.于X
设f在上连续,当x∈(0,1)时f(x)>0;当x(0,1)时f(x)=0.设0<c<1,令hc(x)={ncf(nx)),证明hc∈L1().
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0,μ(X)=1.
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
设X是复赋范空间。设F:C→X使得对X'中每个x',x'·F是有界的且在上是解析的,证明F是常函数。
设X是连通的拓扑空间,C*(X)是X上连续复函数之集,是C*(X)中的一个等度连续函数之集.若对某个x0∈X,复数集{f(x0):f∈}有界,证明对每个x∈X,{f(x):f∈}都是有界的.
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.
设f(x)为连续函数,Ω={(x,y,z)l|x2+y2+z2≤t2,z≥0),∑为Ω的表面,Dxy为Ω在xOy平面上的投影区域,L为Dxy的边界曲线,当t>0时有
P{X+Y=0};
设a1,a2,…,an为正数,且.设(X,,μ)为Borel测度空间,且μ是正则的.证明对f1,f2,…,fn∈L1(μ),fi≥0,i∈,有
对x∈L1[-π,π],设
,n=0,±1,±2,…。
对整数集合E,设
证明CE是C[-π,π]的闭子空间。再证明若对每个z∈CE
(2)
则存在α>0使得对每个x∈CE,
设X是完备距离空间,是X上连续复值函数的集合。证明或者(i)存在
X的稠密子集D使得
或者(ii)存在X中非空开球U使得