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[主观题]

试证明: 设是可测集合列,则{χEk(x)}是依测度Cauchy列的充分必要条件是:.

试证明:

试证明:  设是可测集合列,则{χEk(x)}是依测度Cauchy列的充分必要条件是:.试证明:  是可测集合列,则{χEk(x)}是依测度Cauchy列的充分必要条件是:试证明:  设是可测集合列,则{χEk(x)}是依测度Cauchy列的充分必要条件是:.试证明:

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第1题
试证明: 设{fm,n(x)}是[0,1]上的双指标可测函数列,且有 (i),a.e.x∈[0,1]; (ii),a.e.x∈[0,1], 则存在子

试证明:

设{fm,n(x)}是[0,1]上的双指标可测函数列,且有

(i),a.e.x∈[0,1];

(ii),a.e.x∈[0,1],

则存在子列{fmk,nk(x)},使得,a.e.x∈[0,1].

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第2题
试证明: 设是可列集,则存在x0∈R1,使得(A+B={x+y:x∈A,y∈B}).

试证明:

是可列集,则存在x0∈R1,使得(A+B={x+y:x∈A,y∈B}).

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第3题
试证明: 设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则 .

试证明:

设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则

.

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第4题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

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第5题
试证明: 设{fn(x)}是R1上非负实值可积函数渐降列,且fn(x)→0(n→∞,x∈R1),令,则 .

试证明:

设{fn(x)}是R1上非负实值可积函数渐降列,且fn(x)→0(n→∞,x∈R1),令,则

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第6题
试证明: (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1. (ii),a.e.x∈R1.

试证明:

(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1

(ii),a.e.x∈R1.

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第7题
试证明: 设{fk(x)}是E上的可测函数列,F∈L(E)且F(x)>0(x∈E).若fk(x)≥-F(x)(x∈E),则 .

试证明:

设{fk(x)}是E上的可测函数列,F∈L(E)且F(x)>0(x∈E).若fk(x)≥-F(x)(x∈E),则

.

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第8题
试证明: 设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有 .

试证明:

设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有

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第9题
试证明: 设f∈L([0,1]),且有,则存在[0,1]上的可测函数g(x),使得 ,.

试证明:

设f∈L([0,1]),且有,则存在[0,1]上的可测函数g(x),使得

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第10题
试证明: 设是可测集,若有 m(Ex)=m({y:(x,y)∈E})≤1/2,a.e.x∈[0,1],则m({y:m(Ey)=1})≤1/2.

试证明:

是可测集,若有

m(Ex)=m({y:(x,y)∈E})≤1/2,a.e.x∈[0,1],则m({y:m(Ey)=1})≤1/2.

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第11题
试证明: 设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.

试证明:

设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1

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