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设H为可分Hilbert空间，{un}为H的无穷标准正交基。若A∈BL(H)定义为Aun=un+1，n≥1，求证：A*u1=0，对于n=2，3，…有A*un=un-1。证明：A*A=I≠AA*，其中I为H上的恒等算子。
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设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列，A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1， n=1，2，…。
求σ(A)
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{un}的矩阵表示分别为(aij)和(bij)，求证：
(a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。
(b)AB和A*分别由(cij)和(dij)表示，其中
设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
设H为Hilbert空间，{un}为H的无穷标准正交基，对n=1，2，…，设Fn=span{u1，u2，…un}。若Pn为从H到F，，的正交投影．求证：
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
设{un：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
求证：
(a)
(b)若{vi：i∈J}为H的另一标准正交基，则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设H为Hilbert空间，{un}为H的可数标准正交集，{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列，用E表示集合{kn:n=1，2，…}。对x∈H令
求证：
(a)A∈BL(H)且
(b)
(c)若
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
设H为可分Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：A相对于H的某一标准正交基为对角的当且仅当A为正规的且H为所有A的特征向量生成子空间的闭包。
，其中I为恒等算子．证明：
为正规算子，E为相应的谱测度，证明：
