题目内容
（请给出正确答案）
若1＜p＜∞，求证：在lp中
当且仅当{xn}为有界的且任取j≥1有xn(j)→x(j)。证明当p=1或P=∞时，上述命题不成立。
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设Y为内积孔间X的子空间，求证：
(a)y∈Y为x在Y上的最佳逼近元当且仅当x-y⊥Y
(b)若x在Y上的最佳逼近元存在，则它必是唯一的。
设X=lp，Y=lq，其中
1＜P≤∞，1≤q＜∞，1/p+1/q=1，
算子F：X→Y定义为
求证：若
则F∈CL(X，Y)。
设H为Hilbert空间，P∈BL(H)。求证：P为正交投影当且仅当P为幂等的且‖P‖≤1。
求证：在c中
当且仅当{xn}为c中的有界列且对j=1，2，…，当n→∞时
xn(j)=x(j)，
设A∈BL(H)，其中H为Hilbert空间。求证：A有特征值λ使得|λ|=‖A‖当且仅当存在x∈H，‖x‖=1，|＜Ax，x＞|=‖A‖
设A∈BL(H)，其中H为Hilbert空间。求证：A有特征值λ使得|λ|=‖A‖当且仅当存在x∈H，‖x‖=1，|＜Ax，x＞|=‖A‖
设X为Banach空间，A∈BL(X)，A≠0。求证：A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1，x2，...,xn}，X'中线性无关的元{x'1，x'2，…，x'n)使得
由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体，其中对i，j=1，2，…，n，kij=x'i(xj)
设H为无穷维Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{un}为H的某一标准正交序列。{kn}为一纯量列。求证：
(a)若{kn}为有界的，则
定义了BL(H)中一元。
(b)A为紧的当且仅当kn→0
(c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
设X=l1，Y=l∞，F：X→Y定义为
求证：若
且当i→∞时有αi→0，则F∈CL(X，Y)。
当且仅当{xn}有界且对j≥1有xn(j)→x(j)
