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（请给出正确答案）
(微分方程解的存在定理)设f(x，y)及fy(x，y)在一个平面区域R内连续．又设
(*)φ'n(x)=f(x，φn(x))+ωn(x),|ωn(x)|＜εn其中εn→0(n→∞)．那么结论是：
(i)y=φn(x)在[x0，x0+h]上一致收敛到一个函数y=φ(x)．
(ii)y=φ(x)是微分方程y'=f(x，y)的一个经过(x0，y0)处的唯一存在的右行解
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考虑线性微分方程组
其中A(t)与f(t)是以ω为周期的周期矩阵函数与周期向量函数(即f(t+ω)=f(t)，A(t+ω)=A(t))．假定方程组(*)及其对应的齐次线性方程组
满足解的存在唯一性定理条件．证明：若x=φ(t)是方程组(*)的解，则x=φ(t)是(*)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)．
设
与
利用不动点定理证明:f在B中有惟一的不动点.
C1曲面MC R3，它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场．引理3．1．1是此题的高维推广，其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11．2．1
证明关于Bochner积分的Lebesgue控制收敛定理：设X为
是完备的σ-有限测度空间，{xn(t)}为Ω上取值于X的Bochner可积函数列，几乎处处收敛于x(t)，且存在Lebesgue可积函数F(t)使
‖xn(t)‖≤F(t)a.e.，
．
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(x)在(0，1)内非零,试证在(0，1)内至少存在一点c，使
分析将欲证表达式变形：f'(c)f(1-c)=f(c)f'(1-c)令F(x)=f(x)·f(1-x)在[0，1]上利用罗尔定理可证
(拉普拉斯的渐近积分定理)设φ(x)，h(x)及f(x)=eh(x)定义在有穷或无穷间隔a≤x≤b上且满足下列各条件：
(i)φ(x)(f(x))n在[a，b]上为绝对可积(n=0，1，2，…)．
(ii)函数h(x)在[a，b]的一个内点ξ处达到有效最大值(即对[a，b]间一切异于ξ的x点而言总是h(ξ)＞h(x+0)，h(ξ)＞h(x-0))．并设h(x)在ξ的邻域内有二级的连续微商而h'(ξ)=0，h"(ξ)＜0．
(iii)φ(x)在x=ξ处连续，而φ(ξ)≠0．于是当n→∞时即有下列的渐近公式：
设f(x)，g(x)为任意两个不含非负整根的代数多项式，试证函数
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x，y)是在平面区域-∞＜x＜∞，0≤y＜ω上的有界可测函数，且是变数y的周期函数，其周期为ω又设K(x，λx)对于每一个充分大的λ而言，都是-∞＜x＜∞上的可测函数．则对于任意一个莱贝克可积函数f(x)，下面的公式常常成立：
[徐利治]
