设E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)是具有二阶连续偏导数的两个矢性函数,它们又满足方程 ▽·E=0 ▽·H=0 试证明:E
设E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)是具有二阶连续偏导数的两个矢性函数,它们又满足方程
▽·E=0
▽·H=0
试证明:E和H均满足(A等于E或H)。
设E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)是具有二阶连续偏导数的两个矢性函数,它们又满足方程
▽·E=0
▽·H=0
试证明:E和H均满足(A等于E或H)。
设X是实线性空间。对X中所有x,y和r≥0,P:满足
p(x+y)≤P(x)+P(y),P(rx)=rp(x)
设Y是X的子空间,g:是线性映射使得对所有y∈Y有
g(y)≤p(y)
设
a∈X,, Z=span{Y,a},
α=sup{g(y)-P(y-a):y∈Y},
h(y+ta)=g(y)+tα, y∈Y,
证明这就定义了线性映射h:使得
h|Y=g且对所有z∈Z有h(z)≤p(z)
试证明:
对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为
(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.
设E是Rn-1中可测集,h>0,点集
A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}
是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则.
设X,Y,Z是Banach空间,G∈BL(X,Z)和H∈BL(Y,Z)。设对X中的每个x,方程G(x)=H(y)在Y中有唯一解y。证明由此定义的映射F:X→Y,F(x)=y,在BL(X,Y)中。
设f(x)为连续函数,Ω={(x,y,z)l|x2+y2+z2≤t2,z≥0),∑为Ω的表面,Dxy为Ω在xOy平面上的投影区域,L为Dxy的边界曲线,当t>0时有
P{X+Y=0};
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈M.证明:在M中存在P的一个开邻域U,使得U可用下列3种形式的Ck函数:2=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)中的一个确定为Ck曲面片.
试证明Schrödinger方程在Galileo变换下的不变性.即设惯性系K'以均匀速度v相对于惯性参照系K运动(不妨设沿x轴方向),空间中任意一点在两个参照系中的坐标满足下列关系
,y=y',z=z',t=t'.
势能在两个参照系中的表达式满足下列关系
V'(x',t')=V'(x-vt,t)=1/(x,t).
a) 求出所有这样的α,对它存在线性变量变换(x,y)→(t,z)使得方程
i) 变为弦振动方程;
ii) 变为热传导方程
b) 对方程
讨论同样的问题.
c) 设函数u(x,y)∈对某个α<-10满足方程(2.3).是否可能同时
d) 对α>10计论同样的问题.
设X为赋范空间,z∈X,f∈X'。求证:若T:X→X定义为
T(x)=f(x)z, x∈X。
则T为紧线性算子。
设x,z∈Rn(n>1),且x≠0,|z|=1,则存在有限个Givens矩阵的乘积T,使得Tx=|x|z.