给定m×n矩阵(kij),定义为
,1≤i≤m
设
,
若和均赋予范数‖·‖p,1﹤p﹤∞。证明
‖F‖≤γ1/pβ1/q
其中1/p+1/q=1。进一步推出若n=m且(kij)是对角矩阵,则
考虑无穷矩阵
若
β=sup{|cn|+|an|+|bn|:n=1,2,…)<∞,
γ=sup{|bn-1|+|an|+|cn+1|:n=1,2,…)<∞,
其中b0=0=c1.求证:上述矩阵相对于l2上的典范标准正交基定义了l2上的有界线性算子A,且‖A‖≤(βγ)1/2。[这类矩阵称为Jacobi矩阵。]
设T是可分希尔伯特空间上的有界线性算子,{en}为中完备的规范正交系。若对任何m,n,有,则T自伴。
若T是非空集合,X是由T上所有有界复值函数x且赋有上确界范数‖·‖∞组成的复赋范线性空间。设t∈T,
证明:
设A∈Cm×n,rank(A)=γ,若有m阶可逆矩阵P和n阶置换矩阵Q,使得
,S∈C(n-γ)(m-γ).试证:对任给L∈C(n-γ)(m-γ),矩阵
是A的一个广义逆,若L=0,则相应的G是A的一个自反广义逆.
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的有界线性算子半群,f(t)=ln‖Tt‖.若存在a>0,f(t)在[0,α]上有界,证明.
设S与T是希尔伯特空间H上的线性算子,若在H上存在酉算子U,使得
S=Uimages/tu-1=Uimages/tu*
则称算子S与T是酉等价的。若T是自伴的,证明S也是自伴的。
设X1,X2,Y都是数域上的赋范空间.若映射T:X1×X2→Y的每个截口都是线性算子,则称T是二重线性算子.若
sup{‖T(x1,x2)‖:‖x1‖≤1,‖x2‖≤1)<∞,则称T有界.设X1是完备的,截口T(x1,·)与T(·,x2)都是有界的,证明T是有界的.
设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证:若A与AA*可交换,则A为正规算子,且当A不为紧算子时,这个结论一般不成立。