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[主观题]
设μ是X上的正测度,μ(X)<∞,f∈L∞(μ),‖f‖∞>0,且.证明
设μ是X上的正测度,μ(X)<∞,f∈L∞(μ),‖f‖∞>0,且.证明
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设μ是X上的正测度,μ(X)<∞,f∈L∞(μ),‖f‖∞>0,且.证明
设μ是X上的正测度,f∈L∞(μ).定义乘算子(线性)Tf:L2(μ)→L2(μ)使Tf(g)=fg,g∈L2(μ).证明‖Tf‖≤‖f‖∞.哪些测度μ使所有的f∈L∞(μ)都有‖Tf‖=‖f‖∞?哪些f∈L∞(μ)使Tf为满射?
设在可测空间(X,)上给定两个测度μ1,μ2,令μ=a1μ1+a2μ2,这里a1,a2是实数。试证:存在X的分解X=A∪B,,使A为μ的正集,B为μ的负集。(μ的正集定义为:对每个可测集E,E∩A可测且μ(E∩A)≥0。负集的定义类似。)
试证明:
设F∈L([0,∞)),g(x)在[0,∞)上可测,若存在M>0.使得|g(x)/x|≤M(0<x<+∞),则
.
试证明:
设是区间,f∈L(I),a≠0.若令
J={x/a:x∈I}=I/a,g(x)=f(ax) (x∈J),则g∈L(J),且有.
试证明:
(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则
.
注:(f∈L(R1)).