若1<p<∞,求证:在lp中当且仅当{xn}为有界的且任取j≥1有xn(j)→x(j)。证明当p=1或P=∞时,上述命题不成立。
若1<p<∞,求证:在lp中当且仅当{xn}为有界的且任取j≥1有xn(j)→x(j)。证明当p=1或P=∞时,上述命题不成立。
若1<p<∞,求证:在lp中当且仅当{xn}为有界的且任取j≥1有xn(j)→x(j)。证明当p=1或P=∞时,上述命题不成立。
设Y为内积孔间X的子空间,求证:
(a)y∈Y为x在Y上的最佳逼近元当且仅当x-y⊥Y
(b)若x在Y上的最佳逼近元存在,则它必是唯一的。
设X=lp,Y=lq,其中
1<P≤∞,1≤q<∞,1/p+1/q=1,
算子F:X→Y定义为
, i≥1, x∈lp
求证:若
则F∈CL(X,Y)。
设H为Hilbert空间,P∈BL(H)。求证:P为正交投影当且仅当P为幂等的且‖P‖≤1。
求证:在c中当且仅当{xn}为c中的有界列且对j=1,2,…,当n→∞时
xn(j)=x(j),
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间。求证:A有特征值λ使得|λ|=‖A‖当且仅当存在x∈H,‖x‖=1,|<Ax,x>|=‖A‖
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间。求证:A有特征值λ使得|λ|=‖A‖当且仅当存在x∈H,‖x‖=1,|<Ax,x>|=‖A‖
设X为Banach空间,A∈BL(X),A≠0。求证:A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1,x2,...,xn},X'中线性无关的元{x'1,x'2,…,x'n)使得
,x∈X
由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体,其中对i,j=1,2,…,n,kij=x'i(xj)
设H为无穷维Hilbert空间,{un}为H的标准正交基,{un}为H的某一标准正交序列。{kn}为一纯量列。求证:
(a)若{kn}为有界的,则
,x∈H
定义了BL(H)中一元。
(b)A为紧的当且仅当kn→0
(c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
设X=l1,Y=l∞,F:X→Y定义为
,i≥1,x∈l1
求证:若
, i≥1
且当i→∞时有αi→0,则F∈CL(X,Y)。