设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是稠定线性算子,证明:
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是稠定线性算子,证明:
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是稠定线性算子,证明:
设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子.证明(ST)*T*S*;若D(S)=H且S是有界的,证明(ST)*=T*S*.
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间,W(A)为A的数值域。求证:
(a)
(b)A为自伴的
(c)(b)的逆命题不成立。
(d)设A为自伴的,则A为正算子当且仅当A的谱中仅有非负实数。
设{un:α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
(11)
求证:
(a)
(b)若{vi:i∈J}为H的另一标准正交基,则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设H为可分Hilbert空间,{un}为H的标准正交基,{kn}为有界纯量列求证:
, x∈H
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[<strong>对角算子</strong>]]。求A的特征值和谱。
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。设存在非零纯量列{cn}及非零正交投影列{Pn}使得:任取n≠m有PnPm=0,
, x∈H (40)
cn→0,每一个R(Pn)都为有限维子空间。求证:
(a)A为紧正规的。
(b){cn}为A不同的特征值的全体。
(c)R(Pn)为对应于cn的特征空间。
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若
(i)A为自伴的或
(ii)A为正规的且数域K为
求证:存在纯量t1,t2,…,tm存在Y1,Y2,…,Ym为两两正交的H的子空间,使得任取x∈H
x=y1+y2+…+ym, yi∈Yi,
A(x)=t1y1+…+tmym
A.(H,T)
B.(H,S)
C.(H,R)
D.C