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设e1，e2，ω1，ω2和
为R3中C2超曲面M上的规范正交标架，f为M上的C2函数，
(f沿ei方向的方向导数eif=df(ei)=(f1ω1+f2ω2)(ei)=fi)．记
则：(1)
；
(7)f12=f21； (8)f11+f22与规范正交标架的选取无关，并称△1：C2(M，R)→C0(M，R)f1→△1f=f11+f22为M上的Laplace算子．如果△1f=0，则称f为调和函数．
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设R3中C2曲面M在等温参数{u，v}下，第1基本形式：I=ds2=E(du2+dv2)=λ2(du2+dv2)，E=G=λ2 (λ＞0)． (1)Laplace算子表达式为
其中f为M上的C2函数； (2)Gauss曲率为
设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E1是紧的，E2是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α1，α2，使得对所有E1中的x1和E2中的x2有
Ref(x1)＜α1＜α2＜Ref(x2)
设△1为习题3．2．1中的Laplace算子，即△1f=f11+f33．而△2为[20]1．5节定义5中的Laplace—Beltrami算子，即△2：C∞(M，R)→C∞(M，R)，△2f=div gradf．Gauss公式设f与g为曲面M上的C∞函数，D为M的一个区域，aD=C为闭曲线，则当i=1，2时，有：(1)
．其中n为区域D在M上的外法向量，ds为弧长元，dA为面积元；(2)
假如某个体系含有两个Voigt单元，其元件参数是：E1=E2=6νKT和η1=η2/10=τ/E1，其中，ν为单位体积中交联网链的数目。试导出这一体系在恒定应力σ下的蠕变响应的表达式。
气体介质中粒子数密度n=1023cm-3，E2能级比基态E1能级的能量高2．48eV(跃迁中心波长λ0=0．5μm)，E2能级的自发辐射寿命τs2=1ms，E2→E1能级的自发辐射谱线具有洛伦兹线型(线宽△v=1GHz)。在热平衡温度为T1(kb1=0．026eV)和T2(kbT2=0．26eV)(kb为玻耳兹曼常数)时，求： (1)两温度下的n1和n2(二能级统计权重相等)； (2)两温度下，单位体积中每秒自发辐射光子数； (3)两温度下，波长λ0=0．5μm的弱光吸收系数； (4)当中心波长吸收系数下降1／2的入射光强；
A.0.3678
B.0.1234
C.0.2362
D.0.2
A.0.3
B.0.6485
C.22
D.0.5128
A.0.3
B.0.6485
C.22
D.0.5128
工作物质的能级系统中E0是基态。E2及E1能级的寿命是τ2和τ1，E2→E1的自发辐射几率是
