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设e1=(1，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，…，en=(0，0，…，0，1)是
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设
(a)A为自伴的当且仅当b=C
(b)A为正的当且仅当
b=C， a≥0，d≥0， ad≥b2；
(c)A为酉算子当且仅当对某一θ，0≤θ≤2π有
a=d=cosθ， C=-b=sinθ， 或 a=-d=cosθ， b=c=sinθ：
(d)A为正规的当且仅当
b=c 或 b=-c， a=d
设E1和E2是赋范空间X的子集，若E1是紧的，E2是闭的且E1∩E2=
，证明存在r＞0使得
(E1+U(0，r))∩E2=，
其中U(0，r)={x∈X：‖x‖﹤r}
试证明：
设E1，E2是R2中的正测集，则存在h0＞0，使得
m(E1∩(E2+{h0}))＞0．
设等级结构的转移矩阵Q仍由(16)式给出，理想的结构为a*=(0.2，0.3，0.5)，证明a*∈B(稳定域)，若初始结构为a(0)=(0.2，0.8，0)，用问题E1，E2，E3的解法求调入比例r，使a(1)尽量接近a*．
设R3中C2曲面M在等温参数{u，v}下，第1基本形式：I=ds2=E(du2+dv2)=λ2(du2+dv2)，E=G=λ2 (λ＞0)． (1)Laplace算子表达式为
其中f为M上的C2函数； (2)Gauss曲率为
在R2中作点集
E1={x=(ξ，η)：-∞＜ξ＜∞，θ=0}
与
E2={y=(ξ，η)：ξ·η=1}，
则
d(E1，E2)=0
设M为R3中2维光滑曲面，{u，v}为点P∈M邻近的局部坐标(参数)，{x(u，v)，xu(u，v)，xv(u，v)，n(u，v)}称为自然标架场．{x(u，v)，e1(u，v)，e 2(u，v)，e3(u，v))为规范正交标架场，dx，dei(i=1，2，3)都可用e1，e2，e3的线性组合表示．此公式称为曲面M的基本公式(或运动方程)：
在近代微分几何中，R3中的光滑曲面M：x=x(u，v)，它的自然切标架场为{xu，xv)，并称{du，dv}为它的对偶余切标架场，即du(xu)=1， du(xv)=0，dv(xu)=0， dv(xv)=1．而{e1，e2，e2}为R3中的规范正交活动标架，它限制到曲面M上，{e1，e2}为M上的规范正交切标架场，e3为M的法标架场，{ω1，ω2，ω3}为{e1，e2，e3}的对偶标架场，即ωi(ej)=δij (i，j=1，2，3)．曲面M的第1和第2基本形式分别为
定理1如果{u，v}为曲面M的正交坐标系，则有下面的计算公式：
设e1，e2，ω1，ω2和
为R3中C2超曲面M上的规范正交标架，f为M上的C2函数，
(f沿ei方向的方向导数eif=df(ei)=(f1ω1+f2ω2)(ei)=fi)．记
则：(1)
；
(7)f12=f21； (8)f11+f22与规范正交标架的选取无关，并称△1：C2(M，R)→C0(M，R)f1→△1f=f11+f22为M上的Laplace算子．如果△1f=0，则称f为调和函数．
A.0.7
B.0.9946
C.3
D.0
气体介质中粒子数密度n=1023cm-1，E2能级比基态E1能级的能量高2.48eV(跃迁中心波长λ0=0.5μm)，E2能级的自发辐射寿命
