如果连通曲线x(s)(s∈(α,β)为弧长)的所有密切平面都垂直于一条固定直线,证明:该曲线x(s)(α<s&l
如果连通曲线x(s)(s∈(α,β)为弧长)的所有密切平面都垂直于一条固定直线,证明:该曲线x(s)(α<s<β)必为平面曲线.
如果连通曲线x(s)(s∈(α,β)为弧长)的所有密切平面都垂直于一条固定直线,证明:该曲线x(s)(α<s<β)必为平面曲线.
给定一个中心在m、半径为r>0的球面.设S为曲线C:x(s)的弧长,令f(s)一Ex(s)一m]2一r2.如果在s0满足下列条件:f(0)(s0)=f(s0)=[x(s0)一m]2一r2=0 (r为常数),f(s0)=f(s0)=…=f(n)(s0)=0,则称曲线x(s)与已给球面有n阶接触.证明:(1)如果C∞曲线x(s)落在已给球面上,则曲线x(s)与球面有任意阶接触;(2)如果τ(s0)=0,则曲线x(s)在x(s0)与某一球面有3阶接触
.从而,平面连通曲线不能与球面处处有3阶接触,除非曲线本身属于球面的一个圆.
设曲线C:x(s)(s为弧长)为常挠曲率曲线.证明曲线
:
为x(s)的Bertrand侣线,其中a,b为常数,k,τ,V2分别为x(s)的曲率、挠率和主法向量,x(s)为其本身的从法向量,即x(s)=V3(s).
证明:具有常曲率k≠0的挠曲线x(s)为Bertrand曲线(s为弧长),且x(s)的侣线
是x(s)的曲率中心的轨迹;并且
的曲率
,挠率
设P0为两曲线x(s)与
的交点,在P0的一旁邻近取点P1,P2,它们分别属于曲线x(s)与
,且使曲线弧长
. 若
则称曲线x(s)与
在P0点有n阶接触. 证明: (1)两曲线x(s)与
具有n阶接触等价于
; (2)曲线x(s)的切线y(s)=x(s0)+(s一s0)x(s0)与曲线x(s)在s0有1阶接触的唯一直线; (3)若连通C2曲线x(s)每一点的切线与曲线x(s)有2阶接触,则曲线x(s)为直线.
如果x(s)满足:
则或者x(s)为球面曲线,或者x(s)为常曲率曲线.
设C:x(s)(s0≤s≤s1)为球面挠闭曲线(τ(s)≠0,
).证明: