设函数y=f(x)在点x=1处的导数为3,且当x=1时,f(1)=5,则当x=1时,曲线y=f(x)的切线方程为______,法线方程为___
设函数y=f(x)在点x=1处的导数为3,且当x=1时,f(1)=5,则当x=1时,曲线y=f(x)的切线方程为______,法线方程为______.
设函数y=f(x)在点x=1处的导数为3,且当x=1时,f(1)=5,则当x=1时,曲线y=f(x)的切线方程为______,法线方程为______.
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,若通过具有连续导数的单调函数x=φ(t),使两个区间a≤x≤b,a≤t≤β上的点成一一对应,又a=φ(a),b=φ(β),则f(x)的定积分可通过函数关系x=φ(t)变换为
. (4.3.4)
求下列函数的导数: (1)
(a>0); (2)y=ef(x).f(ex); (3)
(4)设f(t)具有二阶导数,
求f(f,(x)),f(f(x))).
设z=f(x,y)定义于点P0(a,b)的某邻域内,试总结下列诸性质之间的蕴含关系,并对其中不可逆蕴含者举反例说明.
(1)f在点P0处连续;(2)f在点P0处偏导数存在;(3)f在点P0处可微;(4)f的偏导数在点P0处连续.
设f(x)在[a,b]上连续,则
与
是x的函数还是t与u的函数?它们的导数存在吗?如果存在,等于什么?
设证明:函数f(x)a(x)在索伯列夫意义下是可微的,对于求其一阶导数,通常的莱布尼茨公式成立.当,是否正确?
证明函数(x≠0),f(0)=0在点x=0处有有穷导数,但在此点的任何邻域内,均有导数不存在的点.画出此函数的草图.
设m为正整数,X为所有[a,b]上的纯量函数x,使得x的m-1阶导数x(m-1)在[a,b]上为绝对连续的且x的m阶导数x(m)属于L2[a,b]。若x,y∈X,令
求证:
(a)上式定义了X上的一个内积且在这个内积意义下X为Hilbert空间。
(b)Cm[a,b]在X为稠密的。