题目内容
（请给出正确答案）
在粒子数表象中，谐振子基态|0〉满足性质
a|0〉=0，
其中
，为湮灭算符．试利用此性质求出基态在动量表象中的波函数显示表式〈p|0〉．
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设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系，以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数)，以
即令
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质，并求出J2、Jz的本征值和共同本征态．
气体介质中粒子数密度n=1023cm-1，E2能级比基态E1能级的能量高2.48eV(跃迁中心波长λ0=0.5μm)，E2能级的自发辐射寿命
一维势阱V(x)中粒子的能量本征方程为
设存在束缚态，取基态能量E0(有限，E0≠-∞)为参考点，即E0=0，则基态波函数ψ0(x)满足
ψ0(x)无节点(边界点除外)．考虑如下能量本征方程，
显然
因此H-可以表示为
定义算符
气体介质中粒子数密度n=1023cm-3，E2能级比基态E1能级的能量高2．48eV(跃迁中心波长λ0=0．5μm)，E2能级的自发辐射寿命τs2=1ms，E2→E1能级的自发辐射谱线具有洛伦兹线型(线宽△v=1GHz)。在热平衡温度为T1(kb1=0．026eV)和T2(kbT2=0．26eV)(kb为玻耳兹曼常数)时，求： (1)两温度下的n1和n2(二能级统计权重相等)； (2)两温度下，单位体积中每秒自发辐射光子数； (3)两温度下，波长λ0=0．5μm的弱光吸收系数； (4)当中心波长吸收系数下降1／2的入射光强；
考虑一个玻色子体系，其单粒子态记为α、β、…，各态中粒子数记为nα，nβ，…(nα，nβ=0，1，2，…)，粒子数表象中归一化的本征态记为|nα…〉．以
(a)证明
(b)令
(c)证明
(4)
某工作物质的能级及相应跃迁如下图所示。E2能级的寿命τ2=1μs，E1能级的寿命τ1=2μs。从t=0时刻开始，在单位时间内单位体积中由基态E0激励到E2能级的粒子数为R2=1020cm-3·s-1。在忽略受激跃迁的情况下
4.15光泵浦的激光系统如下图所示，激光工作物质能级示于图(a)，在热平衡状态下，能级1，能级2上的粒子数可忽略不计。将泵浦光波长调到能级0→能级2跃迁中心频率，从一侧入射到工作物质上，将能级0的粒子抽运到能级2。能级2的粒子数通过自发发射和无辐射跃迁回到能级0，其跃迁几率分别为A20=106s-1，S20=5×106s-1；能级2和能级1之间存在自发发射和受激发射，其自发发射爱因斯坦系数A21为105s-1，能级1的寿命τ1=10-7s。为了简化，假定n2，n1
某入设计了一个实验，打算从显微镜中目测一个小谐振子的量子性质，该谐振子是一直径为10-4cm，质量为10-12g的物体，在一根细丝末端振动，最大振幅10-3cm，频率1000Hz.
①此系统在上述状态的量子数大约为多少？
②它的基态能量为多少？试与室温下空气分子平均动能0.025eV相比较.
③基态的经典振幅为多少？试与目测用的照明光波波长约500nm相比较.
④若你是此研究项目的审批者，你是否同意拨款进行此项研究？
粒子在吸引的中心力场中运动，
V(r)=Arν，ν＞-2，Aν＞0 (1)
试用变分法求基态能级的上限，并讨论所得结果．
