设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1),M={x∈Rn|f(x)=0}≠∮,且对设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈M.证明:在M中存在P的一个开邻域U,使得U可用下列3种形式的Ck函数:2=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)中的一个确定为Ck曲面片.
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈M.证明:在M中存在P的一个开邻域U,使得U可用下列3种形式的Ck函数:2=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)中的一个确定为Ck曲面片.
设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1),M={x∈Rn|f(x)=0}≠∮,且对
证明:M为一个n一1维Cr微分流形.
C1曲面MC R3,它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场.引理3.1.1是此题的高维推广,其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11.2.1
设f:Rn→Rm为可微函数,试求分别满足以下条件的函数f(x):
(1) f'(x)≡I(单位阵);
(2) f'(x)=diag(φi(xi)),即以φ1(x1),φ2(x2),…,φn(xn)为主对角线元的对角阵,x=(x1,x2,…,xn)T.
设△1为习题3.2.1中的Laplace算子,即△1f=f11+f33.而△2为[20]1.5节定义5中的Laplace—Beltrami算子,即△2:C∞(M,R)→C∞(M,R),△2f=div gradf.Gauss公式设f与g为曲面M上的C∞函数,D为M的一个区域,aD=C为闭曲线,则当i=1,2时,有:(1)
.其中n为区域D在M上的外法向量,ds为弧长元,dA为面积元;(2)
设z∈L2(-π,π]且延拓z为R上的周期为2π的函数。若x∈L2[-π,π],设
求证:
(a)若为z的Fourier级数,则对x∈L2[-π,π]有
这个级数在[-π,π]上一致绝对收敛。
(b)A为紧算子。
(c)A的特征值由z的Fourier系数cn给出,其对应的特征函数为eins,n=0,±1,±2,…。
设α∈Cc∞(Rn)使得0≤β≤1,(单位球),并且α(0)=1,又设(xj)是Rn的一列元素,满足|xj|+2≤|xj+1|定义
证明:r(x)∈S(Rn)
设f(x)是[a,b]上的递增函数,且值域R(f)=[c,d].若存在且m(E)=0,使得m(f(E))=d-c,则f'(x)=0,a.e.x∈[a,b].
试证明:
设φ(x)是R1上的有界可测且以T>0为周期的函数,f∈L(I)(I是一个区间),则
.