设曲面M:x(u,v)=(ucosv,usinv,lnu)与考察参数区域为上半平面D={(x,y)|y>0},而其第1基本形式为
考察参数区域为上半平面D={(x,y)|y>0},而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量.证明:它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线).
考察参数区域为上半平面D={(x,y)|y>0},而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量.证明:它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线).
设曲面M:x(u,v)具有2阶连续偏导数,{u,v}为正交曲线网,证明曲面的Gauss公式:
(Riemann流形基本定理)n维C∞Riemann流形(M,g)=(M,(,>)上存在唯一的Riemann联络.
设K的全部极点为x(1),x(2),…,x(u),K的全部极射向为y(1),y(2),…,y(v),则x∈K当且仅当存在αi≥0(i=1.2,…,u)且和βi≥0(i=1,2,…,v),使得
(8.7)
设D为中的域且其边界由简单光滑曲线组成。设X为所有函数使得u在D中有连续有界的偏导数ux,uy。若u,v∈X,令
其中ds为弦长度微分。求证上式定义了X上的一个内积。
设
△u(x)+q(x)u(x)=0,x∈Ω;如果
a) q(x)0;
b) q(x)>0;
c) q(x)<0,M>0;
d) q(x)<0,M<0,是否可能M>m?
设是在Q:=(-1,1)×(0,1]中方程
ut=uxx+q(x,t)u,其中q∈C的解.记M:=maxu,m:=maxu,其中如果a)q(x,t)0;b)q(x,t)>0;c)q(x,t)<0,M>0,是否可能M>m?
设R是从点M0(a,b,c)到任意点M(x,y,z)的距离,求证grad u是在
方向上的单位矢量.
设中边值问题
的古典解.v(x,t)是有界可测函数,v(x,t)满足估计|v|≤C,C>0是给定常数.
是否可以选择函数v(x,t),使得对所有的t>t*有u(x,t)三0?其中t*是某个正的常数.
设是C2类函数族,它们满足如下关系:
对那m>0,q>0存在不依赖于ε的ρ>0,使得对于x2+y2≤ρ2,成立uε(x,y,t)=0?
设u为一实数,X*=(x1,x2,…,xm)∈S1*,Y*=(y1,y2,…,yn)∈S2*,则u为对策值且X*为局中人P1的最优策略,Y*为局中人P2的最优策略的充分必要条件是:对于1≤i≤m,1≤j≤n,有
E(i,Y*)≤u≤E(X*,j)