设函数f(x)连续,g(x)满足局部Lipschitz条件,证明方程组 试求初值问题 的Picard迭代序列,并通
试求初值问题
的Picard迭代序列,并通过求迭代序列的极限求出初值问题的解.
试求初值问题
的Picard迭代序列,并通过求迭代序列的极限求出初值问题的解.
设函数f(x)连续,g(x)满足局部Lipschitz条件,证明方程组
满足初值条件x(t0)=x0,y(t0)=y0的解有且只有一个.
令A为n×n阶方阵.证明初值问题
的Picard迭代序列收敛于x(t)=exp(At)x0.
用改进的EuIer方法求下列初值问题在区间[0,1]上的数值解:
给定区间[a,b]上的三个连续函数u(t),∮(t)和λ(t),其中λ(t)≥0,∮(t)一阶连续可导,满足不等式
证明
设x(t)=φ(t)是初值问题
在区间[t0一h,t0+h]上的连续解,其中f(t,x)在矩形区域
上连续,在R上关于x满足Lipschitz条件,Lipschitz常数为L,
,M=max{|f(t,x)|:(t,x)∈R}.设φn(t)是Picard迭代序列中第n次迭代得到的函数,证明有如下的误差估计
设∑与а∑满足斯托斯克斯定理中的条件,函数f(x,y,z)与g(x,y,z)具有连续二阶偏导数,f▽g表示向量▽g数乘f,即 f▽g=f(gx,gy,gz)=(fgx,fgy,fgz)证明:
设函数f(t,x)在平面上的条形区域 G={(t,x)∈R2:a<t<b,|x|<∞} 上连续且满足不等式 |f(t,x)|≤A(t)|x|+B(t), 其中A(t)≥0,B(t)≥0均在区间(a,b)上连续,证明方程
的任一解的最大存在区间均为(a,b).
设(x0,y0,z0,u0)满足方程组
f(x)+f(y)+f(z)=F(u),
g(x)+g(y)+g(z)=G(u),
h(x)+h(y)+h(z)=H(u),
这里所有的函数假定有连续的导数.
(1) 说出一个能在该点邻城内确定x,y,z为u的函数的充分条件;
(2) 在f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么?