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设H为Hilbert空间，{un}为H的可数标准正交集，{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列，用E表示集合{kn:n=1，2，…}。对x∈H令
求证：
(a)A∈BL(H)且
(b)
(c)若
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设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列，A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1， n=1，2，…。
求σ(A)
设{un：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
求证：
(a)
(b)若{vi：i∈J}为H的另一标准正交基，则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
设A∈BL(H)，H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的，求证：
举例说明上述不等式可以是严格的。
设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：
(a)
(b)
设H为Hilbert空间，W为所有H上的正规算子之集。求证：
(a)w为BL(H)的闭集。
(b)W不可能为BL(H)的真子空间。
设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ(A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
设H为Hilbert空间，P∈BL(H)。求证：
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的
