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设H为复Hilbert空间，
．又设A是正算子，而AB是自共轭算子，r(B)为B的谱半径，证明：对
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设T是复Hilbert空间H上的有界正算子，证明-T必是某C0类压缩半群的无穷小生成元，求出此压缩半群．
设H是复Hilbert空间，
为自共轭算子．{Eλ}是T的谱系，
且A与T可交换．证明：A与T的谱系可交换．
设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得
＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1
设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得
＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1
设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ(A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
设H为Hilbert空间，T∈BL(H)。求证：T为酉算子当且仅当T将H的每一完全标准正交集映到完全标准正交集。
设A∈BL(H)，其中H为Hilbert空间，W(A)为A的数值域。求证：
(a)
(b)A为自伴的
(c)(b)的逆命题不成立。
(d)设A为自伴的，则A为正算子当且仅当A的谱中仅有非负实数。
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
为正算子．证明：AB为正算子当且仅当AB=BA.
，其中I为恒等算子．证明：
为正规算子，E为相应的谱测度，证明：
