题目内容
（请给出正确答案）
证明
，
其中n为曲面S上的单位法矢，l为S的有向边界曲线，其正向与n符合右手法则，u和υ都是点M的函数．
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设曲面M：x(u，v)上无抛物点，并设M的一个平行曲面为M：x(u，v)=x(u，v)+λn(u，v)，n(u，v)为x(u，v)处的单位法向l量，其中λ为充分小的常数，使1一λH+λ2KG≠0．证明：可选M的法向量n，使M的Gauss(总)曲率KG与平均曲率H分别为
设曲面M上的一条曲率线C：x(s)(s为弧长)，它的每一点处的从法向量V3(s)与曲面在该点处的法向量n(s)成定角，且V3(s).n(s)≠±1(即V3s(s)不平行于n(s))．证明：C为平面曲线．
证明：在曲面M：x(u，v)的一般参数u，v下，弧长参数曲线(u(s)，v(s))的测地曲率为
其中A=A1=F111u2+2F121uv+F221v2，B=A2=F111u2
C1曲面MC R3，它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场．引理3．1．1是此题的高维推广，其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11．2．1
设L为yOz面上位于，y≥0内的光滑曲线段，L绕z轴旋转得曲面∑，函数f(y，z)在L上连续，证明
设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L2[0，1]为
求证：存在非零实序列{λn}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{un}，使得对x∈L2[0，1]
其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2＜∞
下面的论断是否正确？正确的要说明理由，错误的则给出反例．
(1)∮CF·ds是一个向量；
(2)若A，B是曲线C的起点和终点，则有∮CF·ds=F(B)-F(A)；
(3)若向量场F在单位圆周x2+y2=1上的曲线积分等于0，则F必为一个梯度场；
(4)分片光滑的封闭曲面S所包围的体积必等于
其中cosα，cosβ，cosγ，为曲面S的外法线的方向余弦
-A.(▽×B)]dy．
，其中L为切割八面体FBZ在[111]方向的面心。
