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证明公式
S是空间区域V的光滑边界闭曲面，n为S上动点(ξ，η，ζ)处外法向单位向量．
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设∑是空间区域Ω的光滑边界曲面，n为∑上动点(x，y，z)处的外法向单位向量， (x，yo，zo)是∑上一定点，r＝｛x＝xo，y－yo，z－zo｝， r＝｜r｜
(Minkowski公式)设MCR3为2维光滑、定向、紧致曲面，x(P)为它的位置向量，n(P)为P点处的连续单位法向量．函数φ(P)=一=一x(P)n(P) (P∈M)称为曲面M的支撑函数．它是坐标原点O到P的切平面的有向距离，则有Minkowski公式：
设曲面M：x(u，v)具有2阶连续偏导数，{u，v}为正交曲线网，证明曲面的Gauss公式：
证明
，
其中n为曲面S上的单位法矢，l为S的有向边界曲线，其正向与n符合右手法则，u和υ都是点M的函数．
设M为R3中2维光滑曲面，{u，v}为点P∈M邻近的局部坐标(参数)，{x(u，v)，xu(u，v)，xv(u，v)，n(u，v)}称为自然标架场．{x(u，v)，e1(u，v)，e 2(u，v)，e3(u，v))为规范正交标架场，dx，dei(i=1，2，3)都可用e1，e2，e3的线性组合表示．此公式称为曲面M的基本公式(或运动方程)：
在近代微分几何中，R3中的光滑曲面M：x=x(u，v)，它的自然切标架场为{xu，xv)，并称{du，dv}为它的对偶余切标架场，即du(xu)=1， du(xv)=0，dv(xu)=0， dv(xv)=1．而{e1，e2，e2}为R3中的规范正交活动标架，它限制到曲面M上，{e1，e2}为M上的规范正交切标架场，e3为M的法标架场，{ω1，ω2，ω3}为{e1，e2，e3}的对偶标架场，即ωi(ej)=δij (i，j=1，2，3)．曲面M的第1和第2基本形式分别为
定理1如果{u，v}为曲面M的正交坐标系，则有下面的计算公式：
证明：在曲面M：x(u，v)的一般参数u，v下，弧长参数曲线(u(s)，v(s))的测地曲率为
其中A=A1=F111u2+2F121uv+F221v2，B=A2=F111u2
设(X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得
π(x)=x+E(x∈X)，τE={V
证明：
设f(x，y)具有一阶连续偏导数，其等值线f(x，y)=v是简单闭曲线，此闭曲线围成区域的面积是F(v)，F(v)有连续导数，D是由f(x，y)=v1和f(x，y)=v2(v1＜v2)围成的区域．证明
证明广义的Cauchy定理与Cauchy公式：设X是Banach空间，D
-A.(▽×B)]dy．
