试证明: 设f∈C(R1)且是一一映射,又有x0∈R1,使得f(x0)=x0.若成立等式 f(2x-f(x))=x (x∈R1), 则.
试证明:
设f∈C(R1)且是一一映射,又有x0∈R1,使得f(x0)=x0.若成立等式
f(2x-f(x))=x (x∈R1),
则.
试证明:
设f∈C(R1)且是一一映射,又有x0∈R1,使得f(x0)=x0.若成立等式
f(2x-f(x))=x (x∈R1),
则.
试证明:
设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则
.
试证明:
(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则
.
注:(f∈L(R1)).
试证明:
设f∈C(R1).若存在λ>0,使得
|f(x)-f(y)|≥λ|x-y|(x,y∈R1),
则值域R(f)=R1.
试证明:
设,则f:R1→R1在E上的图形集
Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}
是Gδα曲集.
试证明:
设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
试证明:
设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)
(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),
则存在且m(Z)=0,使得(x∈R1\Z).
试证明:
设x1<x2<…<xn是n次多项式P(x)的n个不同实根,λ>0并作点集
E={x∈R1:P'(x)/P(x)>λ},
则E是有限个互不相交的区间之并集,且这些区间的总长度为n/λ.
试证明:
设f∈C([0,∞))∩L([0,∞)),且是正值递减函数,则
当且仅当对t>0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞).