设λ是n阶矩阵A的一个特征值,证明:aλ2+bλ+c是aA2+bA+cI的一个特征值。
设λ是n阶矩阵A的一个特征值,证明:aλ2+bλ+c是aA2+bA+cI的一个特征值。
设λ是n阶矩阵A的一个特征值,证明:aλ2+bλ+c是aA2+bA+cI的一个特征值。
设A与F都是n阶矩阵,且A实对称,它的特征值为λ1,λ2,…,λn.证明:矩阵方程AX+XA+AXTA=F有唯一解的充要条件是
设A是n阶实对称正定矩阵,λ1和λn分别表示A的最大和最小特征值,则由格式(2.17)得到的向量序列{x(k)}满足
(2.18)
复方阵Q称为酉矩阵,是指Q满足QQH=QHQ=E,或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵,即.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵,但任何方阵总相似于上三角矩阵,这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理:对于复方阵A,总存在酉矩阵Q,使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵,且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明:设n阶方阵A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn;f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式,则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1),f(λ2),…,f(λn).
设n阶实对称矩阵A,B及C=A+B的特征值依次为
λ1≤λ2≤…≤λn, μ1≤μ2≤…≤μn, γ1≤γ2≤…≤γn,
则有
μ1≤γk-λk≤μn. (1.22)
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ[sub1sub]=6,λ[sub2sub]=λ[sub3sub]=3,α[sub1sub]=(1,1,1)[supTsup]是属于λ[sub1sub]=6的特征向量.
设n阶方阵A,B有相同的特征值λ1,λ2,…,λn,且λ1,λ2,…,λn互不相同.证明:A与B相似.