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设实对称矩阵An×n的特征值如式(1.18)，则
λ1=min{xTAx|x∈Rn，‖x‖2=1}， (1.19)
λn=max{xTAx|x∈Rn，‖x‖2=1}． (1.20)
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设实对称矩阵An×n的特征值如式(1.18)，则对1≤k≤n，有
其中Vk表示Rn的任意一个k维子空间．
设A，B是两个实对称矩阵，试证：存在正交矩阵Q，使Q-1AQ=B的充分必要条件是A与B有相同的特征值．
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ[sub1sub]=6，λ[sub2sub]=λ[sub3sub]=3，α[sub1sub]=(1，1，1)[supTsup]是属于λ[sub1sub]=6的特征向量.
设实对称阵A和B的特征值分别是λ1≤λ2≤…≤λn和u1≤u2≤…≤un，若对单位向量x，恒有∣xT(B－A)x∣≤ε(ε＞0)，则∣uk=λk∣≤ε(k=1，2，…，n)．
设A、B、C及D都是Hermite正定矩阵，且A-1C和BD-1的特征值按式(6.86)排序，则
η1≥η2≥…≥ηn，μ1≥μ2≥…≥μn(6.86)
设A、B、C及D都是Hermite正定矩阵，且A-1C和BD-1的特征值按式(6.86)排序，则ρ(P)的唯一最小点是
η1≥η2≥…≥ηn，μ1≥μ2≥…≥μn(6.86)
复方阵Q称为酉矩阵，是指Q满足QQH=QHQ=E，或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵，即
.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵，但任何方阵总相似于上三角矩阵，这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理：对于复方阵A，总存在酉矩阵Q，使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵，且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明：设n阶方阵A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn；f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式，则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn).
设A是n阶实对称正定矩阵，则由格式(2.21)得到的向量序列{r(k)}和{z(k)}满足
[r(k)，z(k-1)]=0，[r(k)，r(l)]=0，[z(k)，Az(l)]=0(k≠l)．(2.22)
A.A有实特征根，且与对角矩阵相似
B.若B1，B2是可交换的，则A有实特征根，且与对角矩阵相似
C.若B1，B2都对称，则A有实特征根，且与对角矩阵相似
D.ATA有实特征根，且与对角矩阵相似
，证明A是正规矩阵．
