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若有一个表达式与△y之差是Δx的高阶无穷小量(当Δx→0时)，则这个表达式就是微分．倒题是否正确．
设函数α(x)，φ(x)≠0定义在0≤x＜∞内而适合下列条件：
(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x)，φ(x)都是有界变差函数．
(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点
(3)当t→∞时，Vφ(t)=V0t[φ]→∞，于是无穷积分
设函数f(x)在有穷或无穷区间(a，b)的各点有有穷导数f'(x)，且
试证明f'(c)=0，其中c是区间(a，b)中的某一点．
设函数f(x)在[a，b]上有定义且连续，在(a，b)内有有限的导函数f'(x)，又
f'+(a)=f'(a+)
(拉普拉斯的渐近积分定理)设φ(x)，h(x)及f(x)=eh(x)定义在有穷或无穷间隔a≤x≤b上且满足下列各条件：
(i)φ(x)(f(x))n在[a，b]上为绝对可积(n=0，1，2，…)．
(ii)函数h(x)在[a，b]的一个内点ξ处达到有效最大值(即对[a，b]间一切异于ξ的x点而言总是h(ξ)＞h(x+0)，h(ξ)＞h(x-0))．并设h(x)在ξ的邻域内有二级的连续微商而h'(ξ)=0，h"(ξ)＜0．
(iii)φ(x)在x=ξ处连续，而φ(ξ)≠0．于是当n→∞时即有下列的渐近公式：
设X=C"[a，b]，即为[a，b]上具有n阶连续导数的纯量函数的集合。对X中的x，令
其中x(0)=x且x(m)是x的m阶导数(m=1，2，…，n)。令Y是X中的所有无穷次可微函数的集合。证明X是Banach空间，在诱导范数下Y不是Banach空间。
试证在下面条件下有可能a(t)→∞(t→∞)而同时φ(t)为有界函数．
(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x)，φ(x)都是有界变差函数．
(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点
(3)当t→∞时，Vφ(t)=V0t[φ]→∞，于是无穷积分
