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设有一各向同性的带电谐振子(无外场时粒子受弹性恢复力-mω02r作用)，处于均匀恒定外磁场B中，假设粒子速度
(1) 振子运动的通解；
(2) 利用上题结果，讨论沿磁场方向和垂直于磁场方向上辐射场的频率和偏振。
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设有一各向同性的带电谐振子(无外场时粒子受弹性恢复力-mω02r作用)，处于均匀恒定外磁场B中假设粒子速度
(1) 振子运动的通解；(2)利用上题结果，讨论沿磁场方向上辐射场的频率和偏振。
设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系，以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数)，以
即令
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质，并求出J2、Jz的本征值和共同本征态．
在原子核的壳模型理论中，原子核被看成是在三维各向同性谐振子势
对于三维各向同性谐振子，径向方程，势函数
已取
。上式可改写成
D(l)χl(r)=λlχl(r) (9.10)
其中
试证明
A-(l+1)A+(l)=D(l)+(2l+3)，
A+(l-1)A-(l)=D(l)+(2l-1)，
B-(l+1)B+(l)=D(l)-(2l+3)，
B+(l-1)B-(l)=D(l)-(2l-1)，
以及
D(l)[A+(l-1)χl-1]=(Al-1+2)[A+(l-1)χl-1]，
D(l)[A-(l+1)χl+1]=(Al+1-2)[A-(l+1)χl+1]，
D(l)[B+(l-1)χl-1]=(Al-1-2)[B+(l-1)χl-1]，
D(l)[B-(l+1)χl+1]=(λl+1+2)[B-(l+1)χl+1]．
由此阐明算符A+(A-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，能量减(增)1，而B+(B-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，但能量增(减)1．
如果粒子在外场中的整个势能λU(r)可以当作微扰来处理，在能量保持不变的条件下求波函数的一级修正ψ(1)．
一谐振子，由质量为0.30kg的小球和劲度系数为3.0N·m-1的弹簧组成．由于阻尼的影响，谐振子的振幅由10cm开始不断衰减，试求：
(1)谐振子的初始能量及不连续衰减的能量子；
(2)谐振子初始能量状态的量子数．
