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设H为Hilbert空间，F1，F2，…为H的闭子空间且对于n≠m有Fn⊥Fm。设
求证：任取x∈F，对n=1，2，…，存在唯一的xn∈Fn，使得
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设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：
(a)
(b)
设A∈BL(H)，H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的，求证：
举例说明上述不等式可以是严格的。
设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ(A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列，A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1， n=1，2，…。
求σ(A)
设H为Hilbert空间，W为所有H上的正规算子之集。求证：
(a)w为BL(H)的闭集。
(b)W不可能为BL(H)的真子空间。
设H为Hilbert空间，P∈BL(H)。求证：
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的
设H是复Hilbert空间，
为自共轭算子．{Eλ}是T的谱系，
且A与T可交换．证明：A与T的谱系可交换．
设A∈BL(H)，其中H为Hilbert空间，W(A)为A的数值域。求证：
(a)
(b)A为自伴的
(c)(b)的逆命题不成立。
(d)设A为自伴的，则A为正算子当且仅当A的谱中仅有非负实数。
为正算子．证明：AB为正算子当且仅当AB=BA.
