试证明: R2中任一开集G可表为:,其中{Bn}是互不相交的圆列,m(Z)=0.
试证明:
R2中任一开集G可表为:,其中{Bn}是互不相交的圆列,m(Z)=0.
试证明:
R2中任一开集G可表为:,其中{Bn}是互不相交的圆列,m(Z)=0.
记R2中以(x,rx)为中心的开圆为Bx,其中x∈R2,rx为正有理数,且令点集
,.
试证明不论如何选择rx,总有.
设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集
Gf={(x,f(x)):x∈R1}
在R2中稠密.
试证明:
设是x,y的二元非零多项式,则点集E={(x,y)∈R2:P(x,y)=0}无内点.
试证明:
(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).
(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.
如图所示管中关闭的出口阀门突然部分打开,以至(其中C为常数,p2为表压强),试证明流量为
Q=ωv0tanh[gHt/(Lv0)]
其中:v0为阀门全开时的最终流速;ω为过水断面面积。
试证明:
设,则f:R1→R1在E上的图形集
Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}
是Gδα曲集.
试证明:
设f∈C([a,b]),并作(右升)点集
G={x∈(a,b):存在ξ:ξ>x,f(ξ)>f(x)},
则G是开集.又若(α,β)是G的构成区间,则f(α)≤f(β).
试证明:
试作(0,1)上函数f(x),使得对任意的非空开集,G均含有f(x)的c个连续点以及c个不连续点.
试证明:
试求f∈L([0,1]),它满足条件:对于[0,1]中任一满足m(E)=1/2的可测集E,都有.