题目内容
（请给出正确答案）
定义函数f∈L∞(μ)的本性值域为集合Rf,它由所有使得μ({x：|f(x)-w|＜ε})＞0对任意ε成立的复数w所组成．证明Rf是紧集，集Rf和数‖f‖∞之间存在什么关系？设Af是所有平均值
且μ(E)＞0．Af和Rf之间存在什么关系？Af总是闭的吗？是否存在这样的测度μ，使得对每个f∈L∞(μ)，Af是凸集？是否存在这样的测度μ，使得对某个f∈L∞(μ)，Af不是凸集？用L∞(μ)代替L∞(μ)，会怎样影响这些结论？
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下列集合中哪些能定义函数？若能，求出函数的定义域和值域．
(1){〈a，1〉，〈b，2〉，〈b，3〉，〈c，1〉}；
(2){〈a，b〉，〈b，c〉，〈a，c〉}；
(3){〈〈a，i〉，〈b，2〉〉，〈〈a，2〉，〈b，1〉〉}；
(4){〈1，a〉，〈2，a〉，〈3，a〉}；
(5){〈|x|，x〉|x∈R}；
(6){〈x，|x|〉|x∈R}．
设A为Hilbert空间H上的算子。H的子空间F称为A的不变子空间若有
设f(x)是[a，b]上的递增函数，且值域R(f)=[c，d]．若存在
A.DE
B.CD
C.BE
D.AB
试证明：
设{Ek}是递增可测集合列，且
f(x)、g(x)都在R上定义，f(x)是单调增加函数，对任何x∈R，又有f(x)≤g(x)．证明：f[f(x)]≤g[g(x)]对任何x∈R成立．
设X和YBanach空间，F∈BL(X，Y)。设R(F)和Z(F)分别是F的值域空间和零空间。证明R(F)在Y中是闭的当且仅当R(F)与X/Z(F)线性同胚。
试证明：
设f(x)，g(x)是[0，∞)上正值可测函数，且对任意的a＞0，f∈L([0，a])，g∈L([0，a])．若有
则存在充分大的值r，使得对满足0≤s≤r的s，均有
设△1为习题3．2．1中的Laplace算子，即△1f=f11+f33．而△2为[20]1．5节定义5中的Laplace—Beltrami算子，即△2：C∞(M，R)→C∞(M，R)，△2f=div gradf．Gauss公式设f与g为曲面M上的C∞函数，D为M的一个区域，aD=C为闭曲线，则当i=1，2时，有：(1)
．其中n为区域D在M上的外法向量，ds为弧长元，dA为面积元；(2)
试证明：
设f∈C(R1)．若存在λ＞0，使得
|f(x)-f(y)|≥λ|x-y|(x,y∈R1)，
则值域R(f)=R1．
